Тема 3. Измерение тока и напряжения

Классификация погрешностей измерений

Общие сведения о погрешностях измерений

ТЕМА 2. ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ

Погрешностью измерения называют отклонение результата измерения от истинного значения измеряемой величины. Она включает в себя составляющие, отличающиеся по характеру их проявления.

Погрешность измерительного прибора – это разность между показанием прибора и истинным значением измеряемой величины. Различают абсолютную, относительную, приведенную, основную и дополнительную погрешности средств измерений.

Абсолютная погрешность ΔХ определяется как разность между показателем прибора (номинальным значением меры) а и истинным X значением измеряемой величины: ΔХ=a—X. Так как истинное значение остается неизвестным, на практике можно найти лишь приближенную оценку абсолютной погрешности средства измерений.

Относительная погрешность δ – это отношение абсолютной погрешности ΔХ к истинному значению измеряемой величины: δ = ΔХ/Х. Она выражается в процентах. Относительная погрешность несет больше информации о точности измерений, чем абсолютная. Например, измерено два значения напряжения 10 и
100 В с одной и той же абсолютной погрешностью 0,5 В. Значения δ для этих измерений соответственно равны 5 и 0,5%. Относительная погрешность показывает, что точность второго измерения на порядок выше.

Приведенная погрешность δ _пр – это отношение абсолютной 'погрешности ΔХ к диапазону измерений D, выраженное в процентах: δ _пр = 100 ΔX/D. Эта погрешность характеризует потенциальную точность средства измерений.

Для прибора с нулевой отметкой на краю диапазона измерений или вне его D – конечный предел измерения; для прибора с двусторонней шкалой по обе стороны от нуля
D – арифметическая сумма конечных пределов измерения.

Основной погрешностью называют погрешность средства измерений в нормальных условиях. Под нормальными понимают такие условия, при которых влияющие на результаты измерения величины (такие, как температура, влажность, частота и напряжение питания, внешние электрические и магнитные поля, положение прибора в пространстве и т. д.), находятся в установленных пределах. Например, температура должна составлять (20±2)°С, напряжение питания – 220 В± 10% и т. д.

Дополнительной погрешностью называют погрешность, вызываемую действием влияющих величин вследствие отклонения рабочих условий от нормальных. Нормальные и рабочие условия измерений указывают в стандартах технических требований и другой нормативно-технической документации на конкретные виды средств измерений.

Систематической составляющей погрешности измерения называется составляющая абсолютной погрешности, остающаяся постоянной или закономерно изменяющаяся при повторных измерениях одной и той же физической величины. Эта составляющая погрешности обусловлена факторами, которые в процессе измерений остаются постоянными или изменяются по определенному закону.

Случайной составляющей погрешности измерения называется составляющая абсолютной погрешности, изменяющаяся случайно при повторных измерениях одной и той же величины.

От этих составляющих погрешности нужно отличать так называемую грубую погрешность измерения, существенно превышающую ожидаемую при данных условиях. Она возникает, например, в результате невнимательности оператора, сбоя аппаратуры, кратковременного изменения напряжения в сети питания, ошибки при отсчете показаний, описки при их записи и т. д. При обработке результатов измерений необходимо выявить и устранить грубые погрешности.

2.1.2 Систематические составляющие погрешностей измерения

В зависимости от происхождения, т. е. от причины возникновения, систематическая составляющая погрешности измерения может включать:

погрешность метода измерения, обусловленную несовершенством метода измерений; к погрешностям этого вида относятся также погрешности, обусловленные влиянием измерительных приборов на измеряемые параметры сигналов и характеристики аппаратуры; например, подключение вольтметра с недостаточным (малым) входным сопротивлением может существенно изменить распределение токов и напряжений в исследуемой схеме. Поэтому результат измерения не будет соответствовать действительному значению измеряемой величины;

инструментальную погрешность, которая зависит от погрешностей применяемых средств измерений;

погрешность, обусловленную неправильной установкой и взаимным расположением средств измерений при их комплексном использовании, несогласованностью их характеристик, влиянием внешних электромагнитных, радиационных и других полей, нестабильностью источников питания, а также неправильными манипуляциями операторов. К погрешностям этого вида относятся погрешности, обусловленные отсутствием должного согласования входных и выходных параметров электрических цепей приборов, объединенных в единый измерительный комплекс; погрешности из-за параллакса при отсчете по шкале и т. д.;

личную погрешность, связанную с индивидуальными особенностями наблюдателя; известно, что два наблюдателя, производя одинаковые измерения, могут получить разные результаты, так, например, при определении момента исчезновения тока биений в телефоне гетеродинного частотомера наблюдатель с ослабленным слухом зафиксирует его несколько раньше, внося этим в измерение систематическую погрешность, повторяющуюся от измерения к измерению.

Систематическая составляющая погрешности измерения может быть постоянной и переменной. Постоянная систематическая составляющая погрешности появляется, например, из-за неправильной установки начала отсчета, неправильной градуировки шкалы и т. д. Среди переменных систематических погрешностей принято различать прогрессивные и периодические. Исключение систематических погрешностей — одна из главных задач при планировании, подготовке, проведении измерений и обработке их результатов.

На этапе планирования и подготовки принципиальным является выбор метода и средства измерений, определение источников и номенклатуры систематических погрешностей. При необходимости выполняется их профилактика посредством термостатирования, экранирования, виброзащиты и другими способами, а также такая постановка эксперимента, которая исключила, уменьшила или позволила бы оценить наиболее существенные систематические погрешности: составление плана эксперимента, определение метрологических характеристик средств измерений, подготовка рабочего места и т. д.

Для исключения систематических погрешностей в процессе измерений применяют ряд способов. Наиболее распространенным из них является способ замещения, при котором измеряемый объект заменяют известной мерой. Например, включив измеряемое сопротивление в мостовую схему и уравновесив ее, заменяют его магазином сопротивлений и, подбирая сопротивление магазина, вновь восстанавливают равновесие цепи. Высокая точность способа обеспечивается за счет исключения остаточной неуравновешенности мостовой схемы, взаимного влияния ее элементов, утечек и других источников систематической погрешности измерения сопротивления.

Если известно, что источник погрешности обладает направленным действием, то применяют способ компенсации погрешности по знаку. Он заключается в том, что измерения проводят дважды так, чтобы погрешность входила в результаты с противоположными знаками, и берут среднее значение результатов.

К способу компенсации близок по смыслу способ противопоставления, при котором также проводят два наблюдения, но измерения строят так, чтобы погрешность, подлежащая исключению, входила в результаты наблюдений в виде коэффициента, а не слагаемого. Так, при измерении сопротивления с помощью равноплечной мостовой схемы после уравновешивания моста меняют, местами измеряемое и уравновешивающее сопротивления и, уравновесив мост, вновь повторяют измерения.

Для исключения прогрессирующей систематической погрешности, являющейся линейной функцией времени, применяют способ симметричных наблюдений. Он заключается в том, что наблюдения выполняют через одинаковые промежутки времени в течение определенного временного интервала. При обработке результатов наблюдений используется тот факт, что погрешность среднего значения любой пары наблюдений, симметричных относительно середины временного интервала, равна погрешности результата наблюдения, соответствующего средней точке интервала. Так удается исключить влияние погрешностей, обусловленных постепенным падением напряжения источника питания (батареи или аккумулятора), уменьшением электронной эмиссии катодов в радиолампах и другими факторами.

Эффективным способом уменьшения систематических погрешностей является их рандомизация, т. е. перевод в случайные. Например, если измерить напряжение несколькими вольтметрами разных типов одновременно и усреднить результаты наблюдений, то можно ожидать, что систематические методические и инструментальные погрешности, присущие каждому прибору, вследствие случайного выбора приборов в какой-то мере компенсируются. Того же эффекта добиваются, изменяя случайным образом методику и условия эксперимента или те параметры, от которых не зависит значение измеряемой величины, но могут зависеть систематические погрешности ее измерения.

Во время обработки результатов наблюдений обнаруживают и оценивают те систематические погрешности, которые не удалось исключить, и в результат измерения вносят поправки.

Поправкой называется величина, одноименная с измеряемой, добавление которой к результату измерения исключает систематическую погрешность.

Поправочный множитель — это число, на которое умножается результат измерения с целью исключения систематической погрешности.

Поправки (поправочные множители) прилагают к паспорту прибора в виде таблиц, графиков или формул. Они могут быть функциями времени, значения измеряемой величины, частоты, температуры и т. д. Поправка, прибавляемая к результату измерения, должна быть численно равна систематической составляющей погрешности, но противоположна ей по знаку. Если систематическая погрешность является, функцией какого-либо параметра, то поправку представляют в виде обратной функции того же аргумента.

Так как источников систематических погрешностей много, то и поправок может вноситься множество. Некоторые из них, например определяемые экспериментально, бывают известны не точно. Нужно следить, чтобы погрешность, с которой известно значение поправки, не увеличивала погрешности измерения. Следует помнить, что из-за неточного знания поправок систематическая составляющая погрешности измерения компенсируется не полностью. Heскомпенсированная ее часть называется неисключенным остатком систематической погрешности (НСП).

2.1.3 Случайные составляющие погрешностей измерения

Поскольку величину случайной погрешности нельзя предвидеть заранее, для ее уменьшения проводят многократные измерения величины в одинаковых условиях. При этом принимают, что систематическая составляющая скомпенсирована, т.е. ее значение близко к нулю. В этом случае можно считать, что наиболее достоверным значением, которое может принимать измеряемая величина, является среднее арифметическое из полученных значений, определяемое как

Аср = (а₁ + а₂ + … + а_n)/n, (2.1)

где а₁, а₂ , … а_n – результаты отдельных измерений, n – число измерений.

Для оценки точности результатов измерений необходимо знать закон распределения вероятностей случайных погрешностей. Закон распределения вероятности случайной составляющей погрешности определяется как устройством (схемой, конструкцией) измерительного прибора, так и условиями его эксплуатации, т. е. условиями измерений.

Реально каждой серии измерений, производимой с определенной группой измерительных приборов, соответствует свой закон распределения погрешностей. Установление и анализ этого закона существенно усложнили бы процедуру расчета погрешностей измерений. Поэтому на практике обычно пользуются аппроксимацией реального закона распределения, сводя его к наиболее простому виду.

В практике электрических измерений одним из наиболее распространенных законов распределения случайных погрешностей является нормальный закон (закон Гаусса), математическое выражение которого имеет вид

p(δ) =, (2.2)

где p(δ) – плотность вероятности случайной погрешности δ;

σ – среднеквадратическое отклонение.

При δ = 0 формула для определения плотности вероятности случайной погрешности принимает вид

p(δ) =.

Среднеквадратическое отклонение σ может быть определено через случайные отклонения отдельных результатов измерений по формуле

где ρ₁ = a₁ – Aср; ρ₂ = a₂ – Aср; ρ_n = a_n – Aср.

Графическое изображение нормального закона распределения показано на рис. 2.1.

Рис. 2.1. Нормальный закон распределения случайных погрешностей

Здесь изображены кривые, описываемые уравнением (2.2) для двух значений δ. Из этих кривых видно, что чем меньше δ, тем чаще встречаются малые случайные погрешности, т. е. тем точнее выполнены измерения. Кривые симметричны относительно оси ординат, так как положительные и отрицательные погрешности встречаются одинаково часто.

Вероятность появления погрешности со значениями от δ₁ до δ₂ определяется площадью заштрихованного участка на рис. 2.2. При нормальном законе распределения вероятность появления случайных погрешностей в интервале от δ₁ до δ₂ вычисляется как определенный интеграл от функции р(δ):

P =.

Значения этого интеграла вычислены для различных пределов (интервалов ±Δδ) и сведены в таблицы, приведенные в математических справочниках. Интеграл, вычисленный для пределов от δ₁= - ∞ до δ₂= + ∞ равен единице, т. е. вероятность появления случайной погрешности в интервале от - ∞ до + ∞ равна единице. Это естественно, так как все погрешности имеют конечные значения.

Как указывалось ранее, среднее арифметическое ряда измерений A_ср является лишь наиболее достоверным значением измеряемой величины. Точность результата измерения A_ср можно оценить с помощью средней квадратической и вероятной погрешностей. Если случайные погрешности распределены по нормальному закону, то согласно теории погрешностей средняя квадратическая погрешность среднего арифметического значения равна:

σ_A = =.

Из данного выражения видно, что увеличение количества повторных измерений приводит к уменьшению средней квадратической погрешности результата измерений.

Если известен закон распределения случайных погрешностей, можно определить вероятность появления погрешности δ, не выходящей за некоторые принятые границы. Этот интервал называют доверительным интервалом, а характеризующую его вероятность – доверительной вероятностью.

При нормальном законе распределения по таблице интегралов вероятностей можно определить значения доверительных интервалов. При увеличении доверительных интервалов значения доверительных вероятностей возрастают, стремясь к пределу, равному единице. На­пример, для доверительного интервала от δ₁ = -σ до δ₂ = +σ доверительная вероятность Р равна 0,68. Следовательно, вероятность того, что случайная погрешность не превышает среднего квадратического значения, равна 0,68. Так как вероятность появления случайной погрешности для доверительного интервала от δ₁ = - ∞ до δ₂= + ∞ равна единице, то вероятность появления погрешности по абсолютному значению, превышающей σ, равна 1 - 0,68 = 0,32, т. е. примерно только одно из трех измерений будет иметь погрешность, большую σ.

Для доверительного интервала от - 3σ до + 3σ доверительная вероятность равна 0,9973. Вероятность появления погрешности, большей 3σ, равна 1 - 0,9973 = 0,0027 ≈ 1/370. Такая доверительная вероятность означает, что из 370 случайных погрешностей только одна погрешность по абсолютному значению будет больше 3σ. Поэтому значение 3σ считается максимально возможной случайной погрешностью. Погрешности, большие 3σ, считаются промахами и при обработке результатов измерений не учитываются.

Как указывалось, для оценки точности результата измерения можно воспользоваться вероятной погрешностью.

Вероятной погрешностью называется такая погрешность, относительно которой при повторных измерениях какой-либо величины одна половина случайных погрешностей по абсолютному значению меньше вероятной погрешности, а другая – больше ее. Из данного определения следует, что вероятная погрешность равна дове­рительному интервалу, при котором доверительная вероятность Р=0,5.

Вероятная погрешность результата измерений, т. е. среднего арифметического значения, при нормальном законе распределения случайных погрешностей равна:

ε_А = σ_A =.

Следует отметить, что указанный способ определения доверительных интервалов справедлив только при большом количестве измерений (n > 20 – 30). На практике чаще всего значение ε_А приходится определять по результатам сравнительно небольшого количества измерений. В этом случае при нормальном законе распределения для определения доверительного интервала нужно пользоваться коэффициентами Стьюдента которые зависят от задаваемой доверительной вероятности Р и количества измерении n (табл. 2.1).

Таблица 2.1

n	Р
	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	0,95	0,98	0,99	0,959
	1,00	1,38	2,0	3,1	6,3	12,7	31,8	63,7	636,6
	0,82	1,06	1,3	1,9	2,9	4,3	7,0	9,9	31,6
	0,77	0,98	1,3	1,6	2,4	3,2	4,5	5,8	12,9
	0,74	0,94	1,2	1,5	2,1	2,8	3,7	4,6	8,6
	0,73	0,92	1,2	1,4	2,0	2,6	3,4	4,0	6,9
	0,72	0,90	1,2	1,4	1,9	2,4	3,1	3,7	6,0
	0,71	0,90	1,1	1,4	1,9	2,4	3,0	3,5	5,4
	0,71	0,90	1,1	1,4	1,9	2,3	2,9	3,4	5,0
	0,70	0,88	1,1	1,4	1,8	2,3	2,8	3,3	4,8
	0,69	0,87	1,1	1,3	1,8	2,1	2,6	3,0	4,1
	0,69	0,86	1,1	1,3	1,7	2,1	2,5	2,9	3,9
	0,68	0,85	1,1	1,3	1,7	2,0	2,5	2,8	3,7

Дата добавления: 2014-01-04