Афінне відображення. Наближення функції в околі точки диференціювання

Визначення похідної функції багатьох змінних

План

Лекція 24. Похідна функції багатьох змінних

Вопросы

Простейшие свойства дифференцированных функций

Афинное отображение. Приближение функции в окрестности точки дифференцирования

Из (30) вытекает, что - это бесконечно малая, когда. Тогда

Определение 2. Отображение называется аффинным отображением (аффинной функцией), если существует такая линейная функция и такой вектор, что

.

Из (40) следует, что если функция дифференцируема в точке, то в окрестности этой точки она хорошо приближается аффинным отображением, т.е.

.

Теорема 1. Пусть, - открытое множество, функция дифференцируема в точке. Тогда непрерывна в точке.

Теорема 2. Если, дифференцируема в точке, то ее производная определяется однозначно.

Пример. Пусть, т.е.. Докажем, что эта функция дифференцирована в любой точке и найдем эту производную. Пусть приращение для определяется как.

.

Для доказательства дифференцируемости функции осталось проверить, что:

,

Что и нужно было доказать. Таким образом

.

Пример. Пусть, т.е.. Докажем, что эта функция дифференцирована в любой точке и найдем эту производную. Пусть приращение для определяется как.

.

Для доказательства дифференцируемости функции осталось проверить, что.

что и нужно было доказать. Таким образом

.

1. Определение производной функции многих переменных. Аналогия и различие между производными функций одной переменной, многих переменных.

2. Определение аффинного отображения.

3. Как представляется функция многих переменных в окрестности точки дифференцирования?

4. Как связаны между собой дифференцируемость и непрерывность в точке для функции многих переменных?

5. Сколько производных в точке может иметь функция многих переменных?

1. Визначення похідної функції багатьох змінних
2. Афінне відображення. Наближення функції в околі точки диференціювання
3. Найпростіші властивості диференційованих функцій

Пригадаємо визначення похідної звичайної функції одної змінної:. Функція диференційована в точці, якщо існує скінченна границя

, (10)

де. Формула (10) еквівалентна формулі:

. (20)

Відзначимо, що функція в чисельнику формули (20) є лінійною функцією:

.

Визначення 1. Нехай, - відкрита множина. Кажуть, що функція диференційована у точці, якщо існує лінійна форма така, що

. (30)

Якщо (30) має місце, то лінійну форму називають похідною функції у точці і позначають.

Похідна функції у точці – це не число, а функція – лінійна форма.

З (30) витікає, що - це нескінченно мала, коли. Тоді

Визначення 2. Відображення називається афінним відображенням, якщо існує таке лінійне відображення і такий вектор, що

.

З (40) витікає, що якщо функція диференційована в точці, то в околі цієї точки вона добре наближається афінним відображенням, тобто

.

Дата добавления: 2014-01-04