Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Афінне відображення. Наближення функції в околі точки диференціювання





Визначення похідної функції багатьох змінних

План

Лекція 24. Похідна функції багатьох змінних

Вопросы

Простейшие свойства дифференцированных функций

Афинное отображение. Приближение функции в окрестности точки дифференцирования

Из (30) вытекает, что - это бесконечно малая, когда . Тогда

 

 

Определение 2. Отображение называется аффинным отображением (аффинной функцией), если существует такая линейная функция и такой вектор , что

.

 

Из (40) следует, что если функция дифференцируема в точке , то в окрестности этой точки она хорошо приближается аффинным отображением , т.е.

 

.

 

Теорема 1.Пусть , - открытое множество, функция дифференцируема в точке . Тогда непрерывна в точке .

Теорема 2.Если , дифференцируема в точке , то ее производная определяется однозначно.

Пример. Пусть , т.е. . Докажем, что эта функция дифференцирована в любой точке и найдем эту производную. Пусть приращение для определяется как .

 

.

 

Для доказательства дифференцируемости функции осталось проверить, что :

,

 

Что и нужно было доказать. Таким образом

 

.

 

Пример.Пусть , т.е. . Докажем, что эта функция дифференцирована в любой точке и найдем эту производную. Пусть приращение для определяется как .

 

.

 

Для доказательства дифференцируемости функции осталось проверить, что .

 

 

 

что и нужно было доказать. Таким образом

 

.

 

1. Определение производной функции многих переменных. Аналогия и различие между производными функций одной переменной, многих переменных.

2. Определение аффинного отображения.

3. Как представляется функция многих переменных в окрестности точки дифференцирования?

4. Как связаны между собой дифференцируемость и непрерывность в точке для функции многих переменных?

5. Сколько производных в точке может иметь функция многих переменных?

 

  1. Визначення похідної функції багатьох змінних
  2. Афінне відображення. Наближення функції в околі точки диференціювання
  3. Найпростіші властивості диференційованих функцій

 



Пригадаємо визначення похідної звичайної функції одної змінної: . Функція диференційована в точці , якщо існує скінченна границя

 

, (10)

 

де . Формула (10) еквівалентна формулі:

 

. (20)

 

Відзначимо, що функція в чисельнику формули (20) є лінійною функцією:

 

.

Визначення 1. Нехай , - відкрита множина. Кажуть , що функція диференційована у точці , якщо існує лінійна форма така, що

 

. (30)

 

Якщо (30) має місце, то лінійну форму називають похідною функції у точці і позначають .

Похідна функції у точці – це не число, а функція – лінійна форма.

 

З (30) витікає, що - це нескінченно мала, коли . Тоді

 

 

 

Визначення 2. Відображення називається афінним відображенням, якщо існує таке лінійне відображення і такий вектор , що

 

.

 

З (40) витікає, що якщо функція диференційована в точці , то в околі цієї точки вона добре наближається афінним відображенням , тобто

 

.

 





Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 499; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Рекомендуемые страницы:

Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2021) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.002 сек.