Градиент функции многих переменных

Производная по направлению

Достаточное условие дифференцируемости функции многих переменных

Замечание. Функция может иметь все частные производные в данной точке, но быть недифференцируемой в этой точке.

Пример.. По определению частной производной:

,

.

Таким образом, обе частные производные в точке существуют. Покажем, что данная функция не будет дифференцированной в точке. Если предположить, что дифференцирована в, а вектор, то она должна представляться в виде:

Для того, чтобы имела место предыдущая формула, т.е., чтобы, когда, надо, чтобы

. (60)

Проверим это. Для этого определим множество и вычислим предел (60) по этому множеству:

.

Таким образом, формула (60) не имеет места,, когда, а данная функция не является дифференцированной в точке, хотя и имеет в этой точке все частные производные.

Пусть, - открытое множество. Предположим, что в каждой точке существует. Тогда на множестве определена вещественная функция:

,.

Определение 2. Если функция, - открытое множество, имеет в каждой точке множества все частные производные, непрерывные везде на, то говорят, что функция принадлежит классу и обозначают:.

Определение 3. Пусть функция дифференцируема в каждой точке множества. Тогда говорят, что дифференцируема на множестве.

Теорема 2 (достаточное условие дифференцируемости функции многих переменных). Пусть функция, - открытое множество,, тогда она дифференцируема на.

Замечание. Непрерывность всех частных производных функции на множестве не является необходимым условием дифференцируемости функции на множестве.

Пусть, - открытое множество,,,,.

Определение 4. Производной функции в точке по направлению называется

если этот предел существует, и обозначается.

Производная функции в точке по направлению - это число. Если, производная по направлению - это частная производная.

Теорема 3. Пусть дифференцируема в точке. Тогда для любого вектора, существует и

, (70)

т.е. значение - это значение производной функции на векторе.

Пусть. Формула (70), учитывая (55), может быть детальнее записана в виде:

= =

= (75)

Доказательство. Поскольку функция дифференцируема в точке, то имеет место равенство:

.

Пусть,,. Тогда, а предыдущая формула будет иметь вид:

. (80)

Разделим последнюю формулу на и перейдем в полученном равенстве к пределу при:

,

что и нужно было доказать.

Определение5. Пусть функция, - открытое множество, дифференцируема в точке. Градиентом функции в точке называется вектор

.

Пользуясь понятием градиента функции, формулу (75) можно записать в виде:

=,

где - скалярное произведение векторов.

,

т.е.

. (90)

Из (90) вытекает, что по любому направлению производная функции в точке – скорость изменения функции в точке - не превышает.

Рассмотрим вектор - нормированный вектор градиента. Вычислим производную функции в точке по направлению вектора градиента:

Таким образом, градиент - это вектор, по направлению которого функция имеет наибольшую скорость роста.

Дата добавления: 2014-01-04