Вопросы. Достаточное условие равенства смешанных производных

Достаточное условие равенства смешанных производных

Определение частной производной -го порядкафункции многих переменных Понятие смешанной производной

Связь между непрерывностью и дифференцируемостью вектор-функции

Понятие вектор-функции. Производная вектор-функции

План

Лекция 26. Производные высшего порядка функции многих переменных

1. Понятие вектор-функции. Производная вектор-функции
2. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью вектор-функции
3. Определение частной производной -го порядкафункции многих переменных Понятие смешанной производной
4. Достаточное условие равенства смешанных производных

Рассматривается функция

,

где.

Определение 1. Производной функции в точке называется

. (1)

Из определения 1 следует, что

. (2)

Из (2) следует, что если функция имеет производную в точке, она непрерывна в этой точке. Действительно, формула (2) эквивалентная формуле:

(3)

Перейдем к пределу в (3), когда:

,

что говорит о непрерывности функции в точке.

Пусть,..., - стандартный базис. Значения функции принадлежат пространству, т.е.

, (3)

где

,

т.е. это обычные функции одной переменной.

Пользуясь (3), найдем производную в точке. Для этого:

.

Перейдем к пределу в последнем равенстве, когда:

Таким образом, производная вектор-функции одной переменной - это вектор, координатами которого являются производные координат представленного вектора.

Пусть

,

- открытое множество. Пусть везде на множестве у существует. Эта производная также является функцией:

.

Может случиться, что имеет в некоторой точке частную производную по. Тогда эту частную производную называют производной второго порядка от функции по переменным, в точке иобозначают:

.

По индукции можно определить частную производную от функции го порядка по переменным, которую обозначают:

.

Если среди индексов есть хотя бы одна пара разных, то соответствующая производная называется смешанной.

Пример. Пусть.

Теорема (достаточное условие равенства смешанных производных). Пусть, - открытое. Пусть везде на множестве у существуют. Тогда во всех точках, где они непрерывные, имеет место равенство:

.

1. Что называется вектор-функцией одного аргумента? Привести примеры вектор-функций.
2. Как определяется производная вектор-функции?
3. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью вектор-функции.
4. Что такое смешанная производная действительной функции многих переменных?
5. Как определяется частная производная от функции го порядка по переменным?
6. Всегда ли смешанные производные второго порядка являются равными? Достаточное условие равенства смешанных производных.

Дата добавления: 2014-01-04