Признаки Коши и Даламбера сходимости рядов с положительными членами

Второй признак сходимости рядов

Теорема 4(второй признак сравнения). Пусть есть два ряда (5) и (7) - и с положительными членами. Если, начиная с некоторого номера для выполняется неравенство:

(25)

то:

1) Из сходимости ряда вытекает сходимость ряда;

2) Из расходимости ряда вытекает расходимость ряда.

Доказательство. Будем считать, как и раньше, что неравенство (25) выполняется для:

,,...,,...

Перемножим эти неравенства почленно:

. (30)

Из неравенства (30) и первого признака сравнения в форме неравенств имеем:

.

.

Теорема 5 (признак Коши в форме неравенств). Пусть рассматривается ряд с положительными членами:

Построим для членов ряда последовательность следующим образом:

. (40)

Если начиная с некоторого номера для выполняется неравенство:

,

где, то ряд сходится. Если начиная с некоторого номера для выполняется неравенство:

,

то ряд расходится.

Доказательство. Поскольку, то. Рассмотрим ряды: и ряд. Ряд - это сумма геометрической прогрессии со знаменателем, поэтому этот ряд сходится. Тогда по первому признаку сравнения в форме неравенств сходится и ряд.

Если, то, это означает, что для ряда не выполняется необходимое условие сходимости, поэтому он является расходящимся.

Теорема 6 (признак Коши в предельной форме). Рассматривается ряд с положительными членами, для которого построенапоследовательность:. Обозначим:

.

Если, то ряд сходится, если, то ряд расходится, если, то никакого вывода о сходимости ряда сделать нельзя.

Теорема 7 (признак Даламбера в форме неравенств). Пусть рассматривается ряд с положительными членами Построим для членов ряда последовательность следующим образом:

. (50)

Если, начиная с некоторого номера для выполняется неравенство:

,

где, то ряд сходится. Если, начиная с некоторого номера для выполняется неравенство:

,

то ряд расходится.

Доказательство. Самостоятельно.

Теорема 8 (признак Даламбера в предельной форме). Рассматривается ряд с положительными членами, для которого построенапоследовательность:. Обозначим:

.

Если, то ряд сходится, если, то ряд расходится, если, то никакого вывода о сходимости ряда сделать нельзя.

Замечание. Во всех случаях, когда признак Даламбера дает ответ на вопрос о поведении ряда, ответ также может быть получен с помощью признака Коши. Наоборот в общем случае не верно: признак Коши более сильный, чем признак Даламбера.

Пример. Исследовать на сходимость ряд. Попробуем решить этот вопрос с помощью признака Даламбера.

.

Таким образом, признак Даламбера не дал ответ на вопрос о сходимости (расходимости) ряда.

Воспользуемся признаком Коши, поскольку он более сильный, чем признак Даламбера.

.

Дата добавления: 2014-01-04