Обчислення поверхневого інтегралу І типу

Визначення поверхневого інтегралу І типу

Двобічні і однобічні поверхні

План

Лекція 46. Поверхневі інтеграли І типу

1. Двобічні і однобічні поверхні
2. Визначення поверхневого інтегралу І типу
3. Обчислення поверхневого інтегралу І типу

Нехай поверхня визначена явно за допомогою рівняння

.

Така поверхня не обмежує ніяке тіло, вона є незамкненою. Тут можна визначити верхню і нижню сторони поверхні. Якщо поверхня обмежує якесь тіло, то для неї можна визначити внутрішню і зовнішню сторони.

Розглянемо гладку поверхню, яка може бути замкненою чи обмеженою кусково-гладким контуром. В кожній точці такої поверхні до неї можна провести дотичну площину. Візьмемо на поверхні деяку точку, побудуємо в ній нормаль визначеного напрямку. Побудуємо на поверхні замкнений контур, який не перетинає меж поверхні. Будемо обходити цей контур, будуючи в кожній його точці нормаль до поверхні (неперевно змінюючи нормаль). При поверненні в точку можливі два випадки:

· Ми повернемося в з тим же нарямком нормалі, з яким виходили з неї;

· Ми повернемося в з протилежним нарямком нормалі.

Якщо для поверхні завжди має місце перший випадок, то поверхня є двобічною, якщо для поверхні можливим є другий випадок, то поверхня однобічна. Прикладом однобічної поверхні є лист Мьобіуса.

Далі розглядаємо лише двобічні поверхні.

Визначення. Сукупність усіх точок поверхні з визначеними напрямками нормалей в них називається стороною поверхні.

Приклад. Нехай поверхня визначена за допомогою рівняння, функція неперервна в деякій області, і, - неперервні в.Тоді направляючі косінуси нормалі до поверхні мають вид:

,,.

Якщо, то кут між поверхнею і віссю OZменше за, визначена верхня сторона поверхні, для визначається нижня сторона поверхні.

Нехай - двобічна гладка чи кусково-гладка поверхня. На визначена функція. Розібємо за допомогою довільних кусково-гладких кривих на частки,,...,. Візьмемо довільно в кожній частці точку і обчислимо. Значення помножимо на площу, яку позначатимемо, тоді сума

Називається інтегральною сумою для поверхневого інтеграла І типу.

Позначимо:

.

Визначення. Якщо існує

,

яка не залежить ні від способу розбивки на частки, ні від вибору проміжкових точок, то ця границя називається поверхневим інтегралом І типу від функції по поверхні і позначається

.

Нехай поверхня визначається параметрично:

.

Позначимо:

.

називаються гаусовими коефіцієнтами поверхні.

Нехай визначена в точках поверхні і обмежена, тоді:

.

Нехай тепер поверхня визначена:. Якщо розглянути як параметри, то параметричне завдання цієїповерхні буде мати вигляд:

.

Для такого визначення поверхні:

,,,

Тоді

.

Завдання. Обчислити

,

де - еліпсоід. Параметричне завдання еліпсоіду:

.

При правильному обчисленні результат повинен дорівнювати:.

Дата добавления: 2014-01-04