Эквивалентные функции

План

Лекция 50. Ряд Фурье по ортогональной системе функций

Обчислення потрійних інтегралів

Властивості інтегрованих функцій і потрійних інтегралів

Теорема 1 (необхідна умова існування потрійного інтеграла). Нехай для функції існує потрійний інтеграл по області, тоді обмежена на.

Завдання. Виписати властивості інтегрованих функцій і потрійних інтегралів (Фіхт., т.ІІІ, стор.310-313).

Нехай - прямокутний паралелепіпед (рис.2), який проектується на YOZв прямокутник. Для такого має місце наступна теорема.

Теорема 2. Якщо для функції існує потрійний інтеграл і для будь-якого фіксованого існує подвійний інтеграл

,

то існує і повторний інтеграл:

і

.

Якщо далі припустити, що для будь-яких і існує інтеграл, то

. (1)

При потрібному існуванні інтегралів змінні в інтегруванні в формулі (1) можливо міняти місцями.

Рис.2.

Зауваження. Можна показати, що якщо існує потрійний інтеграл і інтеграл для будь-яких і, то

,

где.

Нехай має довільну форму, функція визначена на. Побудуємо - прямокутний паралелепіпед, який містить у собі, і визначимо на ньому функцію:

Цим шляхом отримаються всі нижчі формули.

Нехай тіло знаходиться між площинами (рис.3), і кожною площиною, перпендикулярною осі ОХ, де, перетинається по деякій фігурі з площею, проекцію якої на площину YOZпозначимо (рис.3).

Рис.3

Тоді

(2)

в припущенні існування подвійного і потрійного інтегралів.

Нехай - циліндричний брус з твірною, паралельною осі OZ, обмежений знизу і зверху відповідно поверхнями (рис.4):

Тоді аналогічно (2) маємо:

, (3)

Рис.4.

якщо припустити існування потрійного і простого інтегралів.

Приклад. Обчислити, де область визначається наступним чином (рис.5):

Тоді

.

1. Эквивалентные функции
2. Определение системы ортогональных функций. Система ортонормированных функций
3. Тригонометрические системы ортогональных функций
4. Определение ряда Фурье по ортогональной системе функций

Основа темы «Ряд Фурье по ортогональной системе функций» - это определенный интеграл Римана. Известно, что значение интеграла не изменится, если значение подинтегральной функции изменить в конечном количестве точек.

Определение 1. Будем называть функцию кусочно-непрерывной на, если она имеет на этом сегменте конечное количество точек разрыва, является интегрируемой на (возможно, даже, в смысле несобственного интеграла).

Определение 2. Две кусочно-непрерывные функции и будем называть эквивалентными на и обозначать ~, если их значения разные лишь в конечном количестве точек из.

Для эквивалентных функций ~ имеют место следующие свойства:

1);

2) для любой функции ~;

3) если ~, то ~;

4) если ~, и ~, то ~.

Таким образом, отношение «~» является отношением эквивалентности на множестве кусочно-непрерывных функций, а это приводит к тому, что множество кусочно- непрерывных функций распадается на классы эквивалентности. Между этими классами возможно ввести линейные операции:

1) Сложение двух классов (сложение представителей из двух классов);

2) Умножение класса на действительное число.

Таким образом, множество классов эквивалентных функций мы превратили в линейное пространство. Будем обозначать это пространство.

Дата добавления: 2014-01-04