Вопросы. Определение квадратичного отклонения и его свойства

Неравенство Бесселя

Тождество Бесселя

Определение квадратичного отклонения и его свойства. Многочлен по ортогональной системе

План

Питання

1. Яка функція називається кусково-неперервною на? Навести приклади таких функцій?

2. Як значення інтегралу Римана від функції залежить від значення цієї функції в скінченній кількості точок?

3. Які функції і називаються еквівалентними на? Навести приклади еквівалентних функцій.

4. Властивості відношення «~» для кусково-неперервних функцій.

5. Яка система функцій з називається ортогональною?

6. Що називається нормою?

7. Яка ортогональна система функцій з називається ортонормальною?

8. Як ортогональну систему можливо зробити ортонормальною?

9. Які системи функцій називаються основними тригонометричними системами?

10. Що називається рядом Фурьє для по ортогональній системі?

1. Определение квадратичного отклонения и его свойства. Многочлен по ортогональной системе
2. Тождество Бесселя
3. Неравенство Бесселя

Пусть функции и из пространства.

Определение 1. Число

называется квадратичным отклонением функции от функции.

Квадратичное отклонение - это аналог расстояния в пространстве.

Свойства квадратичного отклонения:

1) Для любых функций:;

2) ~ (т.е. разность - лишь в конечном количестве точек).

Понятие квадратичного отклонения можно ввести для любых функций, квадрат разности которых будет интегрируем.

Пусть - ортогональная система,.

Определение 2. Функция

называется многочленом по ортогональной системе

Задача. Пусть, - ортогональная система функций в. Необходимо выяснить, при каких значениях квадратичное отклонение

будет наименьшим.

Для решения поставленной задачи удобнее рассматривать:

Из последнего равенства понятно, что минимум квадратичного отклонения имеем тогда, когда. Тогда

. (1)

Определение 3. Многочлен

,

где (т.е. определяются по формуле (7) лекции 50),, называется многочленом Фурье по ортогональной системе.

Вывод. Наименьшее квадратичное отклонение функция имеет от многочлена Фурье.

Равенство (1) называется тождеством Бесселя.

Левая часть в равенстве (1) неотрицательная, поэтому неотрицательной будет и правая часть:

,

Тогда

. (2)

Левая часть последнего неравенства - это n -ая усеченная сумма числового ряда с положительными членами. Неравенство (2) говорит об ограниченности сверху всей последовательности усеченных сумм ряда, т.е. о его сходимости. Тогда если перейти к пределу в неравенстве (2) при, получим:

- неравенство Бесселя.

1. Определение квадратичного отклонения между функциями.

2. Свойства квадратичного отклонения между функциями.

3. Какая функция называется многочленом по ортогональной системе?

4. Сформулировать задачу о наименьшем квадратичном отклонении.

5. Какая функция называется многочленом Фурье по ортогональной системе?

6. Вывести тождество Бесселя.

7. Вывести неравенство Бесселя.

Дата добавления: 2014-01-04