Связь скорости истечения с давлениями в начале и конце канала

Связь между величиной скорости потока w(x)

и размером площади сечения канала F(x).

Из уравнения (5.5) получаем: dp/kp = - dv/v и подставляем вместо dv/v в уравнение (5.4):

dF/F + dw/w + dp/kp = 0.

Далее, из (5.2) находим dp = -dw²/2v и подставляем в предыдущее уравнение:

dF/F + dw/w – w dw/(kpv) = 0.

Из курса физики известно выражение зависимости скорости звука «а» через параметры состояния вещества:

kpv = a².

А так как р = р(х) и v = v(x) для потока в канале, то а = а(х) и является местной скоростью звука (скоростью распространения возмущений в веществе).

Окончательно, получаем:

dF/F + dw/w – w dw/a² = 0 → dF/F = - (1 – w²/a²)dw/w → dF/F = - (1 – M²) dw/w. (5.8)

Здесь М≡w/a называют в аэромеханике числом Маха, по имени известного австрийского ученого Х1Х века.

Это уравнение позволяет провести кинематическое исследование движения газа в различных условиях сопряжения со стенками канала в условиях разгона потока (dp < 0 и dw > 0) и в условиях торможения (dp > 0 и dw < 0). Действительно, разгон потока в канале вдоль оси х, это dw > 0. Если на входе в канал (х = 0 см. рис. 5.1) скорость невелика, т.е. меньше скорости звука (w(x = 0)< a), то число Маха М < 1. Следовательно, (см. 5.8) при разгоне дозвукового потока dF < 0. Канал должен сужаться (такой канал называют конфузором).

При зазвуковой скорости потока на входе в канал (w(x = 0) > a и М > 1) получаем dF > 0, т.е. канал должен расширяться (такой канал называют диффузором).

На уравнение (5.8) можно посмотреть и иначе:

dw/w ~ dF/F.

Следовательно, при dF = 0 получаем dw = 0, т.е. в канале постоянного сечения (например, в трубе) скорость потока по длине канала постоянна.

Уравнение (5.8) по существу содержит прямые рекомендации инженерам, которые применяют высокоскоростные потоки в технике. Действительно, для практического получения сверхзвуковых потоков необходимо соединить конфузор (dF < 0) с диффузором (dF > 0). Такое устройство называют соплом (обычно, соплом Лаваля по имени его изобретателя). В химической промышленности эти устройства широко используются в центробежных компрессорах и центробежных расширителях (детандерах). Существуют аппараты для транспортировки газов и паров – инжекторы (нагнетатели газа) и эжекторы, отсасывающие газы из аппаратов. И, конечно, сопла используют в ракетной технике и авиации, как основной элемент ракет и двигателей для самолетов сверхзвуковой авиации.

На рис 5.4 представлена форма сопла Лаваля и качественное изменение параметров состояния газа (пара) вдоль сопла.

Рис. 5.4. Форма сопла Лаваля и качественное изменение

параметров состояния потока вдоль сопла.

Эту связь не сложно установить с помощью уравнения (5.2). Если его проинтегрировать в пределах от р₁ до текущего давления р и перед этим воспользоваться уравнением адиабаты:

pv^k = const → p₁v₁^k = pv^k → v = v₁(p₁/p)^1/k,

то получим хорошо известный интеграл (см. лекцию 2, формула (2.24)):

w²/2 = ∫vdp = k/(k – 1) [(p/p₁)^{(k – 1)/k} – 1] p₁v₁.

После несложных алгебраических преобразований окончательно получаем искомую связь:

w = [2k/(k – 1) p₁v₁(1 – β^{(k – 1)/k})]^1/2, м/с, β ≡ p/p₁. (5.9)

Здесь, напомним, р = р(х), т.е. текущее давление в канале с координатой х.

Скорость течения потока можно получить и из уравнения (5.3):

w = (2(h₁ – h))^1/2, м/с. (5.10)

И здесь тоже h = h(x) – энтальпия рабочего тела в канале с координатой х.

Замечание. Если обратить воздействие, т.е. вводить сверхзвуковой поток в канал типа сопло Лаваля, то скорость и кинетическая энергия потока будут убывать, а давление (и потенциальная энергия рабочего тела) будут возрастать (так работает, например, инжектор). Подобное сравнение в термодинамике именуется принципом обращения воздействия. Однако, при любых обстоятельствах течения потока направление изменения скорости и давления противоположны:

d(w²/2) + vdp = 0 → wdw + vdp = 0 → dw/dp = - v/w < 0.

Дата добавления: 2014-01-04