![]() КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Розділ 1. Вектори та координати
Розділ 8 Поверхні другого порядку 63 Розділ 7. Загальна теорія ліній другого порядку 58 Розділ 5. Лінії і поверхні 51 Розділ 4. Прямі і площини 36 Розділ 3. Перетворення систем координат 34 Розділ 2. Добутки векторів 18 Розділ 1. Вектори та координати 4
1.1. Напрямлені відрізки і їхня рівність.
Рис. 1.1. Рівність напрямлених відрізків.
1.2. Додавання напрямлених відрізків
Рис. 1.2. Додавання напрямлених відрізків і множення їх на числа 1.3. Добуток напрямлених відрізків на число. Нульовий напрямлений відрізок
Задача 1.1. Знайдіть вираз для напрямленого відрізку, що з'єднує будь-які дві точки на рисунку, у вигляді лінійної комбінації зазначених на рисунку відрізків Спробуйте одержати загальну формулу для довільного напрямленого відрізка:
Рис. 1.3. До задачі 1.1
1.4. Визначення вектора. Рис. 1.4. Визначення вектора 1.5. Рівність векторів. 1.6. Довжина вектора.
1.7. Сума векторів. Доказ_______________________________________________________________ Відповідно до властивості 1:
Із цих співвідношень маємо:
Використовуючи ще раз властивість 1, дістаємо:
Рис. 1.5. До теореми 1 ____________________________________________________________________
1.8. Множення вектора на число.
1.9. Напрямок вектора. Орт. Вектор, який однонапрямлений даному векторові
Для нульових векторів, довжина яких дорівнює нулеві, орти не визначені. Відповідно до визначення, орти мають одиничну довжину
Задача 1.2. Побудуйте вектор Для розв’язку цієї задачі досить використати правило паралелограма, згадавши при цьому, що діагональ у паралелограмі є бісектрисою, якщо паралелограм є ромбом, тобто всі його сторони є рівними. Тому досить від векторів
Безумовно, можна запропонувати й іншій розв’язок цієї задачі, наприклад:
1.10. Властивості лінійних операцій над векторами.
Рис. 1.6. Сполучна властивість додавання векторів
1.11. Поняття лінійної залежності векторів.
.
1.12. Розмірність простору. Базис простору.
1.13. Координати вектора.
1.14 Проекція вектора. Ортогональні проекції.
1.15. Системи координат, радіус-вектор. Сукупність початку відліку й базису називають системою координат. Вектор, який з’єднує початок відліку та певну точку, має спеціальну назву радіус-вектор цієї точки. Наприклад, радіус-вектор точки N позначають як
Рис. 1.7. Приклад системи координат
1.16. Декартові системи координат. Розглянемо базиси, у яких базисні вектори перпендикулярні один одному й мають одиничну довжину. Наприклад, у двомірному випадку це базис
а в тривимірному випадку це базис
Такі системи називають декартовими системами координат, або ортонормованими системами координат. Декартові системи координат найчастіше застосовують розв’язуючи математичні й фізичні задачі, і тому координати в такій системі мають власні позначення –
Рис. 1.8. Декартова система координат на площині
1.17. Полярна система координат. Рис. 1.9. Полярна система координат Співвідношення між декартовими і полярними координатами:
1.18.Циліндрична система координат
. Рис. 1.10. Циліндрична система координат 1.19 Сферична система координат. Рис. 1.11. Сферична система координат. Координатні поверхні й орти 1.20. Базиси й системи відліку різної орієнтації. Рис. 1.12. Базиси різної орієнтації на прямій
Ортонормовані базиси однакової орієнтації можна сполучити рухами всередині простору, у якому їх визначено. Рис. 1.13. Базиси різної орієнтації на площині
Рис. 1.14. Базиси різної орієнтації в просторі
Рис. 1.15. Визначення правого базису
Задача 1.3. Визначить вектор швидкості точки за рівномірного обертання. Розв’язок. Припустимо, що точка обертається по колу з постійним радіусом
В останньому перетворенні враховано, що радіус обертання не змінюється з часом. Орт
де
Кути, що входять у ці співвідношення виражаємо через кут φ між радіусом-вектором і віссю х (полярний кут у системі координат) й одержуємо, що
Тепер можна взяти похідну за часом від цього виразу:
Тут ми використали той факт, що похідна за часом від кута є кутовою швидкістю. Якщо тепер знайти вираз для орта
то ми одержимо шуканий вираз для швидкості обертової точки:
Цей вираз визначає як величину лінійної швидкості обертання
Задача 1.4. Знайдіть відстань між точками в полярній системі координат. Розв’язок. Нехай задано дві точки
Щоб використати цю формулу нам досить виразити декартові координати точок через полярні за допомогою співвідношень
Отримане співвідношення є ні що інше, як теорема косинусів, і наведений розв’язок можна розглядати як доказ теореми косинусів за допомогою координатного методу. У той же час це співвідношення можна переписати іншим способом, явно виділивши квадрат різниці довжин радіус векторів і доданок, що є малим, якщо є малим кут між радіусами-векторами
Такий вираз є особливо зручним у фізичних додатках, коли, наприклад, виникає необхідність розкладати величину Більш того, одержаний вираз дозволяє знайти так званий «елемент довжини» у полярній системі відліку, або, іншими словами, відстань між двома нескінченно близькими точками:
Одержані співвідношення дозволяють вивести основні нерівності трикутника. Якщо врахувати, що величина
Звідси випливають нерівності, що зв'язують між собою довжини сторін будь-якого трикутника:
Задача 1.5. Самостійно доведіть, що елемент довжини у сферичній системі координат дорівнює
Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 2351; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |