Нечеткие предикаты

Понятие множества и способы его задания

Понятие нечеткого высказывания и нечеткого предиката

Цели и задачи изучения темы

Тема 3. ОСНОВЫ НЕЧЕТКОЙ ЛОГИКИ

В данной теме дается определение нечеткой переменной и рассматриваются различные логики данной нечеткой переменной.

Человеческое мышление - это совмещение интуиции и строгости, которое, с одной стороны, рассматривает мир в целом или по аналогии, а с другой стороны - логически и последовательно и, значит, представляет собой нечеткий механизм. Законы мышления, которые мы захотели бы включить в программы компьютеров, должны быть обязательно формальными; законы мышления, проявляемые в диалоге человека с человеком — нечеткие.

Математики, исследовавшие механизмы мышления, заметили, что существует не одна логика (например, булева), а столько, сколько определяет человек, потому что все решается выбором соответствующей системы аксиом. Как только аксиомы выбраны, все утверждения, построенные на их основе, должны быть строго, без противоречий увязаны друг с другом согласно правилам, установленным в этой системе аксиом.

Классическая логика по своей сути игнорирует проблему неопределенности, поскольку все высказывания и рассуждения в формальных логических системах могут иметь только значение "истина" (И, 1) или значение "ложь" (Л, 0). В отличие от этого в нечеткой логике истинность рассуждений оценивается в некоторой степени, которая может принимать и другие отличные {И, Л} значения. Чтобы иметь возможность выражать неопределенные знания, необходима такая логическая система, которая позволяет некоторому предложению иметь истинностное значение, отличающееся от бинарного И или Л. Один из подходов — расширить множество истинностных значений {И, Л} и позволить предложениям принимать некоторые дополнительные значения истинности. Одним из первых логиков, предложивших в 1930 г. вариант многозначной логической системы, отличающийся от классической бинарной логики, был польский математик Ян Лукасевич (1878—1956). В трехзначной логике Лукасевича используется 3 истинностных значения: {0, 0.5, 1}, где значение 0 интерпретируется как "ложь", 1 — как "истина", а число 0.5— как "возможно". В качестве высказываний с истинностным значением "возможно" могут выступать такие, которые относятся к некоторому моменту времени в будущем. Так, например, высказывание "Сборная России по футболу выйдет в 1/8 финала на предстоящем Чемпионате мира" до начала Чемпионата не может быть оценено ни как ис-тинное, ни как ложное. Именно по этой причине более адекватным ответом на вопрос об его истинности будет использование трехзначной логики с соответствующей интерпретацией истинности в форме значения "возможно". Наряду с понятием нечеткого множества, Л. Заде предложил обобщение классической логики на основе рассмотрения бесконечного множества значений истинности. Далее в этой лекции изложены основы нечеткой логики, которая использует основные понятия теории нечетких множеств для формализации неточных знаний и выполнения приближенных рассуждений в той или иной проблемной области

Пример 3.1. Примеры элементарных нечетких высказываний:

1. О. Бендер имеет довольно высокий рост.

2. Завтра будет пасмурная погода.

3. 3 — малое число.

4. ВАЗ 2110 является скоростным автомобилем.

5. Возможно, нам подадут горячий кофе.

Можем ли мы поэтому утверждать, что нечеткая логика может быть хорошо приспособлена к человеческому диалогу? Да — если математическое обеспечение, разработанное с учетом нечеткой логики, станет операционным и сможет быть технически реализовано, то человеко-машинное общение станет намного более удобным, быстрым и лучше приспособленным к решению проблем.

При описании способов задания нечетких отношений, в общем случае можно ввести в рассмотрение некоторое характеристическое свойство, которое может быть записано в виде многоместного нечеткого предиката P(<x₁, x₂,..., x_k>).

Нечеткий предикат. Нечеткий предикат P(<.x₁, х₂,..., х_k>) или, более строго, k-местный нечеткий предикат, формально определяется как некоторое отображение из декартова произведения универсумов X₁,X₂,...,X_k в некоторое вполне упорядоченное множество значений истинности, в частности, в интервал [0, 1], т. е. Р:X₁×X₂×…X_k®[0,1]. По аналогии с обычными предикатами, переменные x₁, x₂,..., x_k называются предметными переменными нечеткого предиката Р(<x₁, x₂,..., x_k >), а декартово произведение универсумов X₁×X₂×…X_k — его предметной областью.

Таким образом, анализ семантических особенностей нечетких предикатов P(<x₁, x₂,..., x_k>) в общем случае тесно взаимосвязан с анализом соответствующих нечетких отношений Q={<x₁, x₂,..., x_k.>| mQ(<x₁, x₂,..., x_k >), x₁ÎX₁, x₂ÎX_2,..., x_kÎX_k }, которые были рассмотрены ранее. Верно и обратное заключение. Эта связь функции принадлежности нечеткого отношения и соответствующего ему нечеткого предиката играет важную роль при установлении взаимосвязей между теорией нечетких множеств и нечеткой логикой, поскольку изучение нечетких предикатов может быть выполнено с помощью анализа рассмотренных выше свойств нечетких отношений.

В свою очередь взаимосвязь между нечеткими высказываниями и нечеткими предикатами устанавливается с помощью процесса так называемого означивания нечеткого предиката Р(<x₁, x₂,..., x_k >), под которым понимается подстановка вместо предикатных переменных x₁, x₂,..., xk конкретных значений из соответствующих универсумов: a₁ÎX₁, a₂ÎX₂,..., a_kÎX_k. В этом случае нечеткий предикат Р(<x₁, x₂,..., x_k >) превращается в некоторое нечеткое высказывание P, которое принимает конкретное значение истинности, равное числу из интервала [0, 1].

Нечеткое обобщение логики предикатов первого порядка, так же как и соответствующие ей нечеткие исчисления, не нашли широкого применения при решении прикладных задач. Наиболее конструктивным направлением в нечеткой логике оказалось нечеткое обобщение правил продукций, использующих нечеткие выказывания в форме означивания лингвистических переменных. В этом случае нечеткие высказывания могут комбинироваться с помощью нечетких логических операций или связок, которые и рассматриваются ниже.

Дата добавления: 2014-01-04