Основные понятия. Элемент для исследования – высказывание (элементарное высказывание, или атом), в котором фиксируется некоторый факт

Алгебра высказываний

Логика высказываний

Элемент для исследования – высказывание (элементарное высказывание, или атом), в котором фиксируется некоторый факт. Каждое такое высказывание - пропозициональная переменная (ПП) - оценивается как истинное или ложное с помощью значений из множества {«истина» («и»), «ложь» («л»)}. Будучи оцененным таким образом, высказывание становится суждением:

Обозначение пропозициональной переменной (ПП)	Пропозициональная переменная	Оценка ПП
A	Компьютер – электронное вычислительное устройство	истина
B	Компьютер используется для автоматизации информационных процессов	истина
C	Винчестер – разновидность внешней памяти компьютера	истина
D	Винчестер входит в состав компьютера	истина
E	Операционные системы – вид прикладного программного обеспечения	ложь
F	Винчестер – это вид огнестрельного оружия	истина

Из элементарных высказываний строятся сложные высказывания с помощью грамматических связок (в естественном языке) или с помощью логических связок – в математической логике:

Грамматическая связка	Логическая связка
обозначение	название
не; нет; неверно	Ø	Отрицание
и; также; как…, так и …;	& | Ù	Конъюнкция
или	Ú	Дизъюнкция
если…, то…; тогда…, когда…; поскольку…, постольку…; при наличии… следует…; из… следует…; …влечет…	®	Импликация
…тогда и только тогда, когда…; для того, чтобы…, необходимо и достаточно, чтобы…; …лишь при условии…; …если и только если…	«	Эквивалентность

Логически связки имеют приоритет (от наиболее сильной к наиболее слабой): Ø, &, Ú, ®, «.

Алгебра высказываний позволяет определять истинность или ложность сложных высказываний на основании истинности или ложности простых высказываний, входящих в их состав.

Логические связки обозначают логические операции над высказываниями, а правила исполнения таких операций формируют алгебру высказываний:

А_выск=<T, S, {и, л}>,

где T={A, B, C, …} – множество ПП,

S = {Ø, &, Ú, ®, «, º} – множество логических операторов и отношений, причем º - «равносильность», формирует отношение сравнения двух правильно построенных выражений (формул) - F.

Правила построения сложных высказываний в виде последовательности пропозициональных переменных из множества Т, логических связок S и вспомогательных символов (,) определяют возможность формального описания суждений естественного языка. Для этого сложные высказывания должны отвечать определенным синтаксическим правилам, что позволяет их отнести к правильно построенным формулам – ППФ:

1. Любая ПП есть ППФ,

2. Если F₁ и F₂ – ППФ, то ППФ являются:

• (F_i), iÎ{1,2};

• Ø F_i, iÎ{1,2};

• (F₁ & F₂);

• (F₁ Ú F₂);

• (F₁ ® F₂);

• (F₁ «F₂);

• (F₁ º F₂),

3. Никаких других ППФ в алгебре высказываний нет.

Дата добавления: 2014-01-04