Законы алгебры высказываний

Таблицы истинности

Алгебра высказываний позволяет определить истинность или ложность сложного высказывания на основе истинности или ложности высказываний, входящих в его состав. Для этого используются таблицы истинности базовых логических операций:

1) Для отрицания

F	ØF
И	Л
Л	И

2) Для конъюнкции

F1	F2	F1&F2
Л	Л	Л
Л	И	Л
И	Л	Л
И	И	И

3) Для дизъюнкции

F1	F2	F1ÚF2
Л	Л	Л
Л	И	И
И	Л	И
И	И	И

4) Для импликации

F1	F2	F1®F2
Л	Л	И
Л	И	И
И	Л	Л
И	И	И

5) Для эквивалентности

F1	F2	F1«F2
Л	Л	И
Л	И	Л
И	Л	Л
И	И	И

Значение формулы полностью определяется значениями входящих в нее пропозициональных переменных в соответствии с логическими связками, связывающими простые и сложные высказывания.

Рассмотрим использование таблиц истинности для решения прикладных задач.

Пусть оценивается деятельность некоторого вуза во время его аккредитации. Работа вуза регламентируется правилом: «Подготовка специалистов высокой квалификации возможна лишь на базе всемерного развития вузовской науки, усиления связи вузов­ской, академической и отраслевой науки, обеспечения единства науч­ной и учебной работы».

Данное правило с помощью ПП:

· А:=«подготовка специалистов высокой квалификации»

· В:=«развитие вузовской науки»

· С:=«усиление связи вузов­ской, академической и отраслевой науки»

· D:=«обеспечение единства науч­ной и учебной работы»

формально записано так: Ф=(B&C&D®А).

Сформируем таблицу истинности для этого высказывания:

№ п/п	B	С	D	В&С&D	А	Ф
1	л	л	л	л	л	и
2	л	л	и	л	л	и
3	л	и	л	л	л	и
4	л	и	и	л	л	и
5	и	л	л	л	л	и
6	и	л	и	л	л	и
7	и	и	л	л	л	и
	и	и	и	и	л	л
	л	л	л	л	и	и
	л	л	и	л	и	и
	л	и	л	л	и	и
	л	и	и	л	и	и
	и	л	л	л	и	и
	и	л	и	л	и	и
	и	и	л	л	и	и
	и	и	и	и	и	и

Проведем интерпретацию полученных результатов:

· Строки 1 – 7 определяют такую работу вуза, когда готовятся «плохие» специалисты, поскольку А=л. Это оправдано тем, что не выполнялось одно из требуемых условий (Ф₁=л по разным причинам). С такими вузами надо разбираться, прежде чем принимать решение.

· Строки 9 – 16 определяют такую работу вуза, когда готовятся «хорошие» специалисты (А=и), причем для строк 9 – 15 это выполняется, несмотря на то, что не все условия соблюдены (Ф₁=л), в то время как в строке 16 такой результат оправдан созданными условиями (Ф₁=и). Аккредитация этих вузов продлевается безусловно.

· Строка 8 соответствует такому вузу, который «нарушает» принятое правило работы вузов (Ф=л): несмотря на созданные благоприятные условия, он готовит «плохих» специалистов. Скорее всего, его аккредитация не будет продлена.

Можно предложить такую технологию работы с формализмом Ф=(B&C&D®А) при практическом решении поставленной задачи:

1) Некоторый транслятор преобразует данное правило в таблицу истинности, причем в случае использования оптимизирующего транслятора останется только правило, соответствующее строке 8.

2) Вводятся оценки работы некоторого вуза по критериям А, В, С, D, выставленные из множества {и,л}.

3) По таблице истинности определяется «положение» вуза. Если это строка 8 – аккредитация вузу не продлевается.

При определении значения сложной формулы используются законы алгебры высказываний, которые включают как законы логики, так и специфические законы алгебры высказываний:

1) Законы логики:

• Закон тождества – используемые понятия не должны ни изменяться, ни подменяться в ходе одного и того же рассуждения;

• Закон непротиворечия – невозможно, чтобы одно и то же в одно и то же время было и не было присуще одному и тому же в одном и том же отношении;

2) Специфические законы (аксиомы) алгебры высказываний - используют понятие равносильности (º) формул:

· две формулы являются равносильными, если они имеют одинаковое значение при одинаковых наборах ПП;

· если две формулы равносильны, то они эквивалентны между собой;

· если две формулы эквивалентны между собой, то они равносильны.

Дата добавления: 2014-01-04