Односторонние функции

Предыстория вопроса

Асимметричные криптосистемы

Их еще называют системами с открытым ключом. Для шифрования используется один ключ, а для расшифровки другой. Полный ключ расшифровки состоит из первого и второго ключей. Первый ключ открытый, второй – секретный. Открытый ключ формируется с помощью секретного ключа. Однако получить секретный ключ с помощью открытого невозможно.

Асимметричная схема секретной связи показана на рис 7.1.

А

В

Е

Шифратор

Открытый канал

Дешифратор

Генератор секретного ключа

Открытый ключ

Генератор открытого ключа

Сообщение

Секретный ключ

Рис 7.1. Асимметричная схема секретной связи

Заметим, что закрытый канал связи в симметричной схеме отсутствует.

Рассмотрим три задачи, имеющие важное практическое значение.

1) Хранение паролей в компьютере.

При входе в компьютерную сеть пользователь выбирает имя и затем вводит секретный пароль. Проблема состоит в следующем: если хранить пароли в компьютере, то злоумышленник Е может прочитать их и использовать. Особенно легко это можно сделать, если Е является администратором сети. Необходимо организовать хранение паролей так, чтобы прочитать их было невозможно.

2) Банк-клиент.

Задача возникает в компьютерных банковских сетях с удаленным доступом. В начале сеанса банк спрашивает у клиента имя, а затем секретный пароль. Противник Е может узнать пароль, т.к. линия связи между клиентом и банком открытая – городская телефонная сеть.

3) Свой-чужой самолет.

Задача связана с появлением радиолокаторов и систем ПВО. При пересечении самолетом границы ПВО спрашивает у него пароль. Если пароль верный, то самолет свой, а если неверный, то чужой. Здесь возникает проблема: пароль должен передаваться по открытому каналу связи – воздушной среде. Противник Е прослушивает все разговоры и может перехватить пароль. Затем чужой самолет повторит пароль и будет пропущен.

Решение всех трех задач основано на понятии односторонней функции.

Функция y=f(x) называется односторонней, если вычисление обратной к ней функции x=f^-1(y) происходит гораздо труднее, чем вычисление прямой функции.

Например: у=x² – прямая функция, – обратная функция. Обратная функция корня вычисляется труднее, чем функция возведения в квадрат. x – это блок исходного сообщения, у – зашифрованный блок. Прямая функция представляет шифрование, обратная функция – расшифровку. Существуют односторонние функции, которые сами вычисляются за доли секунды, а обратные к ним вычисляются за тысячи лет на суперкомпьютере.

В качестве односторонней функции в криптологии чаще всего применяется степень числа «а» по модулю «р», обозначается «y=a^xmod p». Здесь «р» – большое простое число (делится только на себя и на единицу). а<p,x<p,y<p. Длина числа «р» ограничивает размер блока сообщения. При определенных сочетаниях «а, р» функция y=a^xmod p – взаимно-однозначная. Поэтому возможна однозначная расшифровка«x» по известному «y».

При возведении в степень a^x в каждом умножении берется остаток от деления результата на число «р», частное отбрасывается.

Пример вычисления:

3¹mod 7 =3,

3²mod 7 =2,

3³mod 7 = (3²*3¹)mod 7 =2*3 =6,

3⁴mod 7 = (3²*3²)mod 7 =2*2 =4,

3⁵mod 7 = (3⁴*3¹)mod 7 =(4*3) mod 7 =5,

3⁶mod 7 = (3⁴*3²)mod 7 =(4*2) mod 7 =1,

При вычислениях не получается огромных чисел. Остаток от деления на число pвсегда меньше р.

Обратная функция называется дискретным логарифмом и обозначается x=log_ay mod p.

Дата добавления: 2014-01-04