Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Экстремумы функции





 

Пусть функция задана на интервале .

Опр. Точка называется точкой локального максимума функции f(x), если в некоторой ее окрестности выполняется условие: .

Опр. Точка называется точкой локального минимума функции f(x), если в некоторой ее окрестности выполняется условие: .

 

Значения функции в точках локального минимума и максимума называют минимумом и максимумом функции. Минимум и максимум функции объединяют в понятие «экстремум функции»

(extr f).

 

Отметить отличия локального и глобального экстремумов.

 

 

Теорема (необходимое условие локального экстремума).Еслидифференцируемаяфункция имеет экстремум в точке , то ее производная в этой точке равна нулю:.

Док-во. Если - точка экстремума дифференцируемой функции, то существует некоторая окрестность этой точки, в которой выполнены условия теоремы Ферма. Тогда ее производная .

Замечание. Функция может иметь экстремум и в точках, в которых она не дифференцируема (если эти точки входят в область определения). Например, функция имеет экстремум в точке х=0, но не дифференцируема в ней.

 

Точки, в которых производная равна нулю или не существует, называются стационарными или критическими точками. Из теоремы следует, что точки локального экстремума функции являются ее критическими точками. Обратное утверждение неверно. Например, функция имеет неотрицательную производную, т.е. возрастает на всей числовой оси, следовательно не имеет точек экстремума. В то же время, является ее критической точкой.

 

Теорема (достаточное условие локального экстремума).Если при переходе через критическую точку производная дифференцируемой функции меняет знак с «+» на «-», то - точка локального максимума, если с «-» на «+», то - точка локального минимума.

Док-во. В соответствии с достаточным условием монотонности, функция возрастает слева от и убывает справа, тогда в силу непрерывности функции, является точкой максимума. Аналогичные рассуждения для минимума.

Замечание. Если при переходе через критическую точку производная не меняет знак, то в этой точке экстремума функции нет.

 

Теорема (2 достаточное условие локального экстремума). Для того, чтобы функция имела локальный максимум (минимум) в критической точке , достаточно, чтобы в некоторой окрестности этой точки существовала непрерывная вторая производная и ().

(без док-ва).

Пример. Найти экстремумы функции;

Ее производная:.

Определим критические точки: , - критические точки.

Определим знак производной в окрестностях критических точек.

- точка минимума, - минимум функции;

- точка максимума, - максимум функции.



 

§3. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

 

При решении прикладных задач бывает нужно найти глобальные экстремумы функции на некотором промежутке. Если этот промежуток является отрезком, то экстремумы функция может достигать как в точках экстремума, так и на концах отрезка.

Пример. Найти наибольшее значение функции на отрезке .

Решение. Данная функция является непрерывной на данном отрезке (т.к. знаменатель не обращается в нуль), а следовательно, может принимать экстремальные значения либо в точках экстремума, либо на концах отрезка. Вычислим производную:

. Тогда критическими точками являются точки х=0 и х=-2. Данному отрезку принадлежит только точка х=0. Вычислим значения функции в точке экстремума и на концах отрезка:

, , . Сравнивая эти значения, заключаем, что наибольшее значение функции достигается в точке х=0.

 





Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 545; Нарушение авторских прав?


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Рекомендуемые страницы:

Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2020) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.004 сек.