Неоднородные линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Неоднородные линейные уравнения второго порядка

Неоднородное линейное уравнение второго порядка имеет вид

Общее решение данного уравнения определяется как сумма какого-нибудь частного решения этого уравнения и общего решения соответствующего однородного уравнения

Так как общее решение однородного уравнения мы уже умеем находить, то основная задача при интегрировании неоднородного уравнения состоит в нахождении какого-нибудь его частного решения.

Укажем общий метод нахождения частных решений неоднородного уравнения, который называется методом вариации произвольных постоянных.

Общее решение однородного уравнения имеет вид. Будем искать частное решение неоднородного уравнения в такой же форме, предполагая и как некоторые пока неизвестные функции от, т.е.

, (1)

где.

Продифференцируем равенство (1): (2)

Подберём и так, чтобы выполнялось равенство, тогда

(3)

(4)

Подставляя (1), (3) и (4) в уравнение, получим

или

Т.к. и - решения однородного уравнения, то и, следовательно. Таким образом, выражение (1) будет решением неоднородного уравнения в том случае, если и удовлетворяют системе уравнений:

(5)

Так как определителем этой системы является определитель Вронского для линейно независимых решений и уравнения, то он не равен нулю; следовательно, решая систему, мы найдём и как определённые функции от:. Интегрируя, получим,.

Подставив значения и в выражение (1), найдём общее решение неоднородного уравнения.

Решение уравнения, где правая часть есть сумма двух функций и, можно представить в виде суммы, где и есть соответственно решения уравнений

Неоднородные линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеют вид:

, (1)

где и - действительные числа.

В предыдущей теме мы ознакомились с общим методом нахождения решения неоднородного уравнения. В случае уравнения с постоянными коэффициентами частное решение иногда бывает возможно найти проще, не прибегая к методу вариации произвольных постоянных. Рассмотрим несколько таких возможностей для данного уравнения (1).

1. Правая часть уравнения (1) представляет собой произведение показательной функции на многочлен ой степени, т.е.

(2)

Возможны следующие случаи:

1.1. Число не является корнем характеристического уравнения

В этом случае частное решение следует искать в виде

(3)

Найдём производные до второго порядка и подставим в уравнение (1):

или

(4)

многочлен степени, многочлен степени, многочлен степени. Таким образом, слева и справа от знака равенства стоят многочлены ой степени. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получим систему уравнений для определения неизвестных коэффициентов.

1.2. Число является однократным корнем характеристического уравнения

В этом случае, т.к. корень характеристического уравнения, то и слева в равенстве (4) будет стоять многочлен ой степени, а справа ой степени. Следовательно, ни при каких равенство (4) не было бы тождеством. Поэтому в рассматриваемом случае частное решение нужно брать в виде многочлена степени, но без свободного члена, т.к. свободный член этого многочлена исчезнет при определении производной:

(5)

1.3. Число является двукратным корнем характеристического уравнения

Тогда в равенстве (4) кроме того, что, ещё и. Следовательно, в левой части равенства (4) остаётся многочлен ой степени. Для того, чтобы в результате подстановки получить многочлен степени, следует частное решение искать в виде произведения показательной функции на многочлен ой степени. При этом свободный член и член первой степени этого многочлена исчезнут при дифференцировании:

(6)

2. Правая часть уравнения (1) имеет вид:

, (7)

где и - многочлены от, то форма частного решения определяется так:

2.1. Если число не является корнем характеристического уравнения

то

(8)

где и - многочлены, степень которых равна наивысшей степени многочленов и;

2.2.Если число является корнем характеристического уравнения

то

. (9)

Замечание. Указанные формы частных решений (8) и (9) сохраняются и в том случае, когда в правой части уравнения (1) один из многочленов и тождественно равен нулю, т.е. когда правая часть имеет вид или

Дата добавления: 2014-01-04