Лекция №1. Введение. Современное состояние освоения морских месторождений

Решение задач с помощью симплексных таблиц

Свойства двойственных задач.

Рассмотрим формально две задачи I и II линейного программирования, представленные в табл. 6.1, абстрагируясь от содержательной интерпретации параметров, входящих в их экономико-математические модели. Обе задачи обладают следующими свойствами:
1. В одной задаче ищут максимум линейной функции, в другой - минимум.
2. Коэффициенты при переменных в линейной функции одной задачи являются свободными членами системы ограничений в другой.
3. Каждая из задач задана в стандартной форме, причем в задаче максимизации все неравенства вида "<=", а в задаче минимизации - все неравенства вида ">=".
4. Матрицы коэффициентов при переменных в системах ограничений обеих задач являются транспонированными друг к другу:
для задачи I A =

для задачи II А' =

5. Число неравенств в системе ограничений одной задачи совпадает с числом переменных в другой задаче.
6. Условия неотрицательности переменных имеются в обеих задачах.
Две задачи I и II линейного программирования, обладающие указанными свойствами, называются симметричными взаимно двойственными задачами. В дальнейшем для простоты будем называть их просто двойственными задачами.
Исходя из определения, можно предложить следующий алгоритм составления двойственной задачи.
1. Привести все неравенства системы ограничений исходной задачи к одному смыслу: если в исходной задаче ищут максимум линейной функции, то все неравенства системы ограничений привести к виду "<=", а если минимум - к виду ">=". Для этого неравенства, в которых данное требование не выполняется, умножить на -1.
2. Составить расширенную матрицу системы А ₁ в которую включить матрицу коэффициентов при переменных А, столбец свободных членов системы ограничений и строку коэффициентов при переменных в линейной функции.
3. Найти матрицу А' ₁, транспонированную к матрице А ₁ .
4. Сформулировать двойственную задачу на основании полученной матрицы A' ₁ и условия неотрицательности переменных.

Соответствие переменных
Переменные исходной задачи
Первоначальные	Дополнительные
Дополнительные	Первоначальные
Переменные двойственной задачи

В этом разделе описано использование симплексных таблиц для решения задач. Использование симплексных таблиц весьма удобно для ручного расчёта задач. Для заполнения первой симплексной таблицы надо привести систему к каноническому виду. Затем если надо ищется первоначальное допустимое решение или задачу надо решать M-методом. Кроме того, систему представляют в расширенном виде.

(2.19)

Обратите внимание, что коэффициенты при переменных в функции меняют знак! Все введённые переменные имеют тот же знак, что и свободные члены иначе надо использовать M-метод (или заранее отыскать ПДБР). Далее эти данные заносятся в первую симплексную таблицу, общий вид которой представлен ниже.

Базис	Свободный член	Переменные	Оценочное отношение
x1	...	xj	...	xs	...	xn+m
x1	b1	a11	...	a1j	...	a1s	...	a1n+m	g1
...	...	...	...	...	...	...	...	...	...
xi	bi	ai1	...	aij	...	ais	...	ain+m	gi
...	...	...	...	...	...	...	...	...	...
xq	bq	aq1	...	aqj	...	aqs	...	aqn+m	gq
...	...	...	...	...	...	...	...	...	...
xm	bm	am1	...	amj	...	ams	...	amn+m	gm
F	c0	c1	...	cj	...	cs	...	cn+m	MAX/MIN

(2.20)

Теперь, поясним, что есть что. Каждая строка - это уравнение в расширенной системе (смотрите формулу 2.19). В столбце "Базис" перечисляются все базисные (основные) переменные, их число равно числу уравнений в системе ограничений. Следующий столбец, "Свободные член" заполняется значениями свободных членов уравнения. В самую верхнюю строку (под надписью "переменные") выписываются все переменные. Самая нижняя строка, начиная с c₁, заполняется значениями коэффициентов при переменных, которые написаны вверху таблицы, из уравнения функции (с обратным знаком, как в расширенной системе), если в уравнении функции такой переменной нет, то пишем ноль. Ячейки " a " заполняются так. Если вверху столбца написана основная переменная, то на пересечении этого столбца со строкой, в которой написана та же переменная ставим 1, во все остальные ячейки столбца пишем 0. Если же вверху столбца неосновная переменная, то в ячейки записываются её коэффициенты из соответствующего уравнения, если её нет в этом уравнении, то пишем 0. В ячейку c₀, на первом шаге просто пишем ноль.

Далее надо провести проверку на оптимальность решения. Это делается легко, если задача на минимум то решение оптимально, если все c, кроме c₀, имеют отрицательные знаки, если же задача на максимум, то когда положительные знаки.

Если решение не оптимально, ищем разрешающий столбец (индекс s), он определяется коэффициентом при переменной в уравнении функции, то есть нижней строкой начиная c₁. Для задачи на минимум это любой столбец, где c максимальный, положительный элемент, а для задачи на максимум, минимальный, отрицательный элемент. Далее проводим расчёт оценочных отношений и заполняем соответствующий столбец. Расчет производится в соответствии со следующим правилом:

· если b_i и a_is имеют разные знаки, то g_i равно бесконечности

· если b_i равно нулю и a_is меньше нуля, то g_i равно бесконечности

· если b_i равно нулю и a_is больше нуля, то g_i равно нулю

· если a_is равно нулю, то g_i равно бесконечности

· иначе g_i равно частному от деления b_i на a_is

После того, как столбец с g заполнен. Выбирается разрешающая строка (индекс q). Это строка, в которой самое минимальное оценочное отношение (но не ноль и не бесконечность). На пересечении разрешающих строки и столбца находится разрешающий элемент - a_qs.

Теперь составляется новая таблица. В столбце "Базис" вместо старой переменной - x_q пишем новую - x_s. Опять на пересечении основных переменных ставим 1, а остальные клетки в столбцах основных переменных заполняем нулями (включая нижнюю строку). Далее, новую строку с номером q получаем путём деления старой строки на разрешающий элемент (a_qs), при этом считаем только пустые клетки (те которые в столбцах неосновных переменных).

Остальные клетки считаем по следующим формулам:

· новая a_ij ровна старой a_ij-a_is*a_qj/a_qs

· новая b_i ровна старой b_i-a_is*b_q/a_qs

· новая c_j ровна старой c_j-c_s*a_qj/a_qs

Клетка c₀ заполняется как старая c₀-c_s*g_q.

Затем снова проверяем решение на оптимальность, если оно не оптимально ищем разрешающий элемент и так далее, пока не найдём оптимума.

Но возможны и другие ситуации - особые случаи симплексного метода. Например, задача не имеет решения, если все оценочные отношения g_i равны нулям и бесконечностям. Кроме того, задача так же может зациклится. Эти случаи тоже следует учитывать.

[1] Севостьянов, А.Г. Моделирование технологических процессов: учебник / А.Г. Севостьянов, П.А. Севостьянов. – М.: Легкая и пищевая промышленность, 1984. — 344 с.

[2] Математическое моделирование систем связи: учебное пособие / К. К. Васильев, М. Н. Служивый. – Ульяновск: УлГТУ, 2008. – 170 с.

[3] Хан, Г. Статистические модели в инженерных задачах / Г. Хан, С. Шапиро; пер. с англ. Е. Г. Коваленко, под ред. В. В. Налимова. – М.: Мир, 1969. – 396 с.

[4] Вероятностные методы в инженерных задачах: справочник / А. Н. Лебедев, М. С. Куприянов, Д. Д. Недосекин, Е. А. Чернявский. – СПб.: Энергоатомиздат, 2000. – 333 с.

[5] Гультяев, А. В. Визуальное моделирование в среде MATLAB: учебный курс / А. В. Гультяев. – СПб.: Питер, 2000. – 432 с.

Постепенное истощение запасов нефти и газа на суше и обострение мирового энергетического кризиса обусловило необходимость все более и более широкого освоения нефтегазовых ресурсов морского дна в недрах которого сосредоточено почти в 3 раза больше нефти и газа, чем на суше.

Около 22% площади Мирового океана (примерно 80,6 млн7 км²) занимает водная окраина материков, состоящая из трех зон: шельфа, материкового склона и подножья. Из общей площади дна морей и океанов перспективны на нефть и газ около 75 млн. км² (примерно 21 %), в том числе на шельфе 19,3 млн. км², на материковом склоне 20,4 млн. км² и в пределах материкового подножья -35 млн. км². Наиболее доступной является шельфовая зона.

Под шельфом ( анг. Shelf) понимается выровненная часть подводной окраины материков с незначительным уклоном, примыкающая к суше и характеризующаяся общим с ней геологическим строением. Глубины у внешней границы шельфа обычно составляют 100-200 м, но в отдельных случаях достигают 1500-2000 м (Южно-Курильская котловина Охотского моря). Ширина шельфа лежит в пределах от 1 до 1700 км (Северный Ледовитый океан), составляя в среднем 65-70 км, а общая площадь - около 32 млн. км² или почти 11,3 % поверхности Мирового океана. Основная часть площади шельфа Мирового океана (примерно 70%) располагается на глубинах, не превышающих 180 м, а глубина моря в районе перехода шельфа в материковый склон колеблется от 200 до 600 м.

На рисунке 1 представлен профиль континентального шельфа. За береговой линией 2 следует континентальный шельф 3, за кромкой 4 которого начинается континентальный склон 5, спускающийся в глубь моря. За подножьем 6 склона находится область отложения осадочных пород, так называемый континентальный подъем 7, уклон которого меньше, чем у континентального склона. За континентальным подъемом начинается глубоководная равнинная часть 8 моря.

Рис.2-Профиль континентального шельфа.

Изучение показало, что глубина кромки шельфа по всему земному шару, составляет примерно 120 м, средний уклон континентального шельфа -1,5-2 м на 1 км.

По прогнозам специалистов свыше 60% площади шельфа перспективны на нефть и газ. При этом прогнозируемые ресурсы и запасы, выявленные в месторождениях газа и конденсата, преобладают над соответствующими ресурсами и запасами нефти.

Освоение морских месторождений началось в 1824г., когда на шельфе Апшеронского полуострова в районе Баку в 25-30 м от берега стали сооружать изолированные отводы – нефтяные колодцы, и вычерпывать нефть из неглубоко залегающих горизонтов. Нефтегазовые месторождения в прибрежной зоне Каспийского моря начали осваиваться еще более 100 лет назад. С 1891 года в США стали продаваться участки моря, на дне которых были обнаружены запасы углеводородного сырья. В эти же годы на Калифорнийском побережье началось бурение наклонных скважин, достигающих залежей нети на расстоянии 200 м от берега. В 1936 г. на шельфе Каспийского моря, а с 1947г. на шельфе Мексиканского залива стали устанавливать буровые платформы на свайном основании.

В настоящее время на шельфе эксплуатируется достаточно большое количество буровых установок различного типа. Ежегодно бурится около 1000 поисково-разведочных и примерно 2000 эксплуатационных скважин. Всего же в мире пробурено более 100 000 скважин.

Россия в настоящее время находится на пороге промышленного освоения запасов нефти и газа на континентальном шельфе. Она располагает 22 % площади шельфа Мирового океана, 80-90% из которого считаются перспективными для добычи углеводородов.. Около 85 % запасов топливно- энергетических ресурсов приходится на шельф арктических морей, 12 %, а по некоторым данным 14 % приходится на шельф дальневосточных морей, а остальное на шельфы Каспийского, Азовского и Балтийского морей.

Наиболее перспективной по запасам углеводородов является акватория Западной Арктики, включающая регионы Баремского, Красного и Печорского морей. В последние годы здесь выявлены крупные структуры и открыто 10 месторождений нефти и газа и 2 газоконденсатных, среди которых 4 гигантских по запасам: Штокмановское-газоконденсатное, Ленинградское, Русановское- газовые и Приразломное- нефтяное.

Мировые запасы нефти оцениваются примерно в 90 млрд. тонн. Наибольщее запасы нети находятся в Саудовской Аравии, Кувейте, Иране, Ираке, США, Объединенных Арабских Эмиратах. В России впервые нефть начали добывать на Кавказе, позднее были открыты месторождения нефти в Поволжье, Западной Сибири, Темано-Печорской провинции, на Сахалине. Теперь на очереди Восточный Сибирь и континентальный шельф морей.

В 40-х гг. ХХ в. на шельфе Каспийского моря началась добыча нефти и газа с искусственных насыпных островов, а затем – с металлических эстакад, что обеспечило добычу нефти с глубин моря от 0,2 до 2,9 м. На Каспии был создан целый город буровиков и добытчиков нефти и газа – Нефтяные Камни.

Существенно доля морской нефтегазодобычи в общемировом балансе стала проявляться лишь в 60-е гг. ХХ в. Рост морской нефтедобычи в настоящее время более чем в 5 раз превышает динамику роста добычи на суше (таблица 1).

Таблица 1

Доля морской нефтедобычи в мировом балансе

Доля добычи	1960 г.	1970 г.	1976 г.	1980 г.	1985 г.	1995 г.	2005 г	2020 г (прогноз)
% млн. т.	-		16,5	22,9				*

Главные ресурсы нефти и газа также расположены в Атлантическом и Индийском океанах. В начале 70-х гг. нефтегазодобычу в морях и океанах вело 21 государство, геофизические и буровые работы осуществляли 46 стран и 5 готовились к ним. В начале 80-х гг. более 100 стран участвовало в освоении континентального шельфа, 37 из них вели разработку морских месторождений нефти и газа. Поисками морских месторождений и их разработкой в начале 90-х гг. занимались уже 136 компаний и фирм из 118 государств. В эти годы добыча нефти и газа на континентальном шельфе Мирового океана достигла 900 млн. т. условного топлива (в пересчете на нефть, где 1 т нефти равна 1200 м³ газа) в год и составила около 35 % мировой добычи.

В настоящее время более 120 государств вовлечены в работы по освоению углеводородных ресурсов на континентальном шельфе. На шельфах морей и океанов выявлено около 2000 месторождений нефти и газа, значительная часть которых может быть отнесена к гигантским или крупным (рис. 2).

Рис.2-Морские месторождения нефти и газа в мире (без России).

1-добыча на шельфе малым числом скважин; 2- зоны промышленной добычи; 3- перспективные районы добычи.

Наиболее богатыми нефтью и газом участками континентального шельфа Мирового океана являются Персидский (более половины общемировых запасов нефти), Мексиканский и Гвинейский заливы, моря Юго-Восточной Азии, Бофорта и Северное, морская лагуна Маракайбо (Венесуэла).

На них приходится большая часть запасов нефти и газа континентального шельфа. Открыты крупнейшие в мире морские месторождения нефти – Саффания с запасамим, оцениваемыми в 5 млрд.т, и с годовым дебитом 75,5 млн. т (Саудовская Аравия); лагуна Маракайбо с запасами, превышающими 7 млрд. т, и газа –Норз Доум с запасами 71 трлн. м³ (Катар). В настоящее время все масштабнее развертывается морская нефтегазодобыча в Карибском море, в Мексиканском заливе, у берегов Саудовской Аравии и Кувейта, в Северном и Норвежском морях, на шельфе Аляски и других морских акваториях.

Осн.: 1. [3-7],2. [6-17]

Доп.: 7. [15-17], [18-23]

Контрольные вопросы:

1. Что такое шельф?

2. Когда началось освоение морских месторождений?

3. Сколько государств в настоящее время вовлечены в работы по освоению углеводородных ресурсов на континентальном шельфе?

4. Из каких зон состоит водная окраина метериков?

5.Какие участки континентального шельфа Мирового океана являются наиболее богатыми углеводородами?

Дата добавления: 2014-01-04