Степенные и структурные средние

Сущность и значение средних показателей

В процессе обработки и обобщения статистических данных возникает необходимость определения средних величин. Как правило, индивидуальные значения одного и того же признака у различных единиц совокупности неодинаковы, но при этом невозможно исследовать каждую единицу. В данном случае прибегают к расчету средних величин, так как они отражают типичные черты и дают обобщенную характеристику однотипных явлений по одному из варьирующих признаков. Средняя величина отражает объективный уровень, достигнутый в процессе развития явления к определенному моменту или периоду.

Средняя величина – это обобщающая характеристика изучаемого признака в исследуемой совокупности, отражающая его типичный уровень в расчёте на единицу совокупности в конкретных условиях места и времени.

Широкое применение средних объясняется тем, что они обладают рядом положительных свойств, делающих их незаменимыми при анализе явлений общественной жизни. Одно из свойств средних, заключается в том, что она отражает то общее, что присуще всем единицам исследуемой совокупности. Значение признака у отдельных единиц совокупности могут колебаться в ту или иную сторону под влиянием множества факторов как случайных, так и основных. Сущность средней в том и заключается, что в ней взаимопогашаются отклонения значений признака отдельных единиц совокупности, обусловленные действием случайных факторов, и учитываются изменения вызванные действием факторов основных.

Средние величины делятся на два класса:

ü степенные средние; к ним относят такие наиболее известные и часто применяемые виды, как арифметическая средняя, гармоническая, геометрическая квадратическая;

ü структурные (описательные) средние, в качестве которых рассматриваются мода, медиана, квартиль, дециль, перцентиль.

Выбор вида средней зависит от цели исследования, экономической сущности осредняемого показателя и характера имеющихся исходных данных.

Рассмотрим некоторые виды степенных и структурных средних, которые наиболее часто используются в статистике.

Степенные средние в зависимости от представления исходных данных исчисляются в двух формах: простой и взвешенной. Простая средняя считается по несгруппированным данным и имеет следующий общий вид:

(4.1)

где - значение средней величины; х_i - индивидуальное значение признака; k – показатель степени средней величины; n – объем изучаемой совокупности.

Взвешенная средняя считается по сгруппированным данным, представленных в виде дискретных или интервальных рядов распределения:

(4.2)

где f_i – частота, показывающая, сколько раз встречается признак в совокупности

Придавая различные значения k получают следующие виды степенных средних:

ü средняя гармоническая, если k = - 1;

ü средняя геометрическая, если k = 0;

ü средняя арифметическая, если k = 1;

ü средняя квадратическая, если k = 2;

ü средняя кубическая, если k = 3 и т.д.

Рассмотрим некоторые виды средних, которые наиболее часто используются в статистике.

Средняя арифметическая простая (невзвешенная) равна сумме отдельных значений признака, деленной на число этих значений.

Геометрическая средняя наиболее часто используется в анализе динамики для определения среднего темпа роста. Ее расчет может производиться по формулам 4.7, 4.8.

ü простая (невзвешенная):

(4.7)

ü взвешенная:

(4.8)

Средняя квадратическая наиболее часто используется при расчете показателей вариации (подробнее см. гл 5), а также для вычислений большинства сводных расчетных показателей.

ü невзвешенная (простая):

(4.9)

ü взвешенная:

(4.10)

В статистике используются средние величины и более высоких порядков, например, средняя кубическая и др.

Величины степенных средних, рассчитанных на основе одних и тех же индивидуальных значений признака при различных значениях степени k, не одинаковы. Чем выше показатель степени k, тем больше значение средней величины (если индивидуальные значения признака варьируют). Отсюда имеем следующее соотношение, называемое правилом мажорантности средних:

Структурные средние применяются для изучения внутреннего строения рядов распределения значений признака, а также для оценки средней величины (степенного типа), если по имеющимся статистическим данным её расчёт не может быть выполнен.

Медиана – значение признака, приходящееся на середину ранжированной (упорядоченной) совокупности.

Если данные о значениях признака х представлены в интервальном вариационном ряду с равными интервалами, то медиана определяется по формуле 4.11.

(4.11)

где - нижняя граница интервала, который содержит медиану; - величина медианного интервала; - сумма частот или общее число наблюдений; - накопленная частота в интервале, предшествующем медианному; - число наблюдений или частота медианного интервала.

Мода – значение признака, наиболее часто встречающееся в исследуемой совокупности.

В дискретном ряду распределения значения моды определяются визуально. Для интервального ряда с равными интервалами величина моды определяется по формуле:

(4.12)

где: - нижняя граница модального интервала; h - величина модального интервала; f_m - частота модального интервала; f_m-1 - частота интервала, предшествующего модальному; f_m+1 - частота интервала, следующего за модальным.

Наряду с нахождением медианы в вариационных рядах распределения можно отыскать значение признака у единиц, делящих ряд на 4 равные части (“квартили”), на 10 равных частей (“децили”) или 100 равных частей (“перцентили”).

Использование в анализе вариационных рядов распределения рассмотренных выше характеристик позволяет более глубоко и детально охарактеризовать изучаемую совокупность.

Дата добавления: 2014-01-04