Логарифмически нормальное (логнормальное) распределение

Логарифмически нормальное распределение – это распределениеслучайной величины, логарифм которой распределён по нормальному закону. Применяют, когда значение случайной величины составляет случайную долю ранее наблюдавшегося явления.

В теории надёжности логарифмически нормальное распределение используют для описания: процессов восстановления; износовых отказов, когда приращение износа пропорционально мгновенному значению износа; наработки при быстром “выгорании” ненадёжных элементов; отказов, появляющихся в результате усталости материала, например, подшипников качения, электронных ламп и пр.

Если величина lg t имеет нормальное распределение с параметрами: МО U и СКО V, то величина Tсчитается логарифмически нормально распределенной с ПРО, описываемой:

(2.23)

Параметры U и V по результатам испытаний принимаются:

(2.24)

(2.25)

где и - оценки параметров U и V.

Показатели надежности можно рассчитать, пользуясь табулированными функциями f(x) и, соответственно, F(x) и (x) для нормального распределения при x= (lg t - U) / V.

Графики изменения показателей надежности при логарифмически нормальном распределении приведены на рис. 2.9.

Числовые характеристики наработки до отказа:

- средняя наработка (МО наработки) до отказа

(2.26)

- дисперсия наработки до отказа

(2.27)

Рис. 2. 9. Графики изменения показателей надежности при логарифмически нормальном распределении

Гамма-распределение является основным распределением математической статистики для случайных величин, ограниченных с одной стороны (0 ≤ х < ∞). Когда α – целое число, гамма–распределение описывает время, необходимое, для появления ровно α событийпри условии, что они независимы и появляются с постоянной интенсивностью λ.

Гамма-распределение служит для описания: износовых отказов, отказов вследствие накопления повреждений, наработки системы с резервными элементами, распределения времени восстановления.

При различных параметрах гамма-распределение принимает самые разнообразные формы, что и объясняет его широкое распространение.

Случайная величина наработки до отказа T имеет гамма-распределение с параметрами (масштабный параметр) и (параметр формы), где > 0, причем – целое число, если ее ПРО описывается выражением:

(2.28)

где Г() = (- 1)! – гамма-функция Эйлера. Очевидно, что при = 1 выражение (22) упрощается до вида (1), соответствующего экспоненциальному распределению.

Гамма-распределение наиболее хорошо описывает распределение суммы независимых случайных величин, каждая из которых распределена по экспоненциальному закону.

Прибольших гамма-распределениесходитсякнормальномураспределениюспараметрами:a=

·, b = · 2.

Графики изменения показателей надежности при гамма-распределении приведены на рис. 2.10.

Числовые характеристики наработки до отказа:

- средняя наработка (МО наработки) до отказа

T0 = /α, (2.29)

- дисперсия наработки до отказа

D = D{T} = / α2. (2.30)

Рис. 2.10 Гамма–распределение

Помимо рассмотренных законов распределения, в качестве моделей надежности объектов могут использоваться и другие, например: распределение Вейбулла, хорошо описывающее наработку объектов до отказа по усталостным разрушениям, распределение Релея, распределение Эрланга и т.п.

2.3 Показатели надёжности восстанавливаемых объектов

Большинство сложных технических систем с длительными сроками службы являются восстанавливаемыми, т.е. возникающие в процессе эксплуатации отказы систем устраняют при ремонте. Технически исправное состояние изделий в процессе эксплуатации поддерживают проведением профилактических и восстановительных работ.

Большинство объектов, относящихся к оборудованию предприятий, после отказов подвергаются ремонту (особенно машины и аппараты в целом, в меньшей мере их детали и узлы) – это так называемый послеаварийный ремонт.

Наряду с таким ремонтом производится еще предупредительный (профилактический) ремонт по данным ревизий (периодический останов и разборка оборудования с целью контроля его состояния) для предотвращения назревающих отказов изношенных изделий. Такой ремонт также может производиться как с заменой изделий, так и провендением их восстановительной обработки.

По мере износа и старения техники продолжительность промежутков времени работы обычно уменьшается, а частота отказов восстанавливаемых изделий нарастает.

Ревизии оборудования и его предупредительные ремонты (по результатам ревизий) можно проводить согласно плану, поэтому их частота обычно постоянна, но со временем растут объемы работ при предупредительных ремонтах. Непрерывно работающее оборудование (это основное оборудование в составе технологических линий предприятий ЦБП) для проведения планово-предупредительного ремонта (ППР) останавливается.

Все это соответствует принятой в промышленности России системе планово-предупредительного ремонта (ППР).

В настоящее время создаются предпосылки для перехода к более современной системе ремонта по потребности (по состоянию техники).

При ней контроль состояния техники должен проводиться не периодически, а непрерывно в ходе работы техники в основном с помощьюсредств технической диагностики.

При помощи специальных датчиков (а также иногда органов

чувств человека, т.е. органолептически) контролируютсяпараметры вибрационного, теплового, акустического режимов работы оборудования,появлении повреждений в конструкциях (например, машин и аппаратов). По этим данным судят о действительной необходимости остановов на предупредительный ремонт оборудования для предотвращения возможных отказов. При этом можно отказаться от обязательных плановых остановов на ППР. В настоящее время элементы такой системы внедряются в рамках обычной системы ППР, что дает дальнейшее значительное снижение аварийности оборудования (машин и аппаратов).

Для осуществляемых в процессе эксплуатации изделий работ по поддержанию и восстановлению их работоспособности характерны значительные затраты труда, материальных средств и времени. Как правило, эти затраты за время эксплуатации изделия значительно превышают соответствующие затраты на его изготовление. Совокупность работ по поддержанию и восстановлению работоспособности и ресурса изделий подразделяют на техническое обслуживание, и ремонт, которые, в свою очередь, подразделяют на профилактические работы, осуществляемые в плановом порядке и аварийные, проводимые по мере возникновения отказов или аварийных ситуаций.

К показателям надёжности, присущим только восстанавливаемым элементам, следует отнести среднюю наработку на отказ, наработку между отказами, вероятность восстановления, среднее время восстановления, коэффициент готовности, коэффициент оперативной готовности и коэффициент технического использования.

Свойство ремонтопригодности изделий влияет на материальные затраты и длительность простоев в процессе эксплуатации. Ремонтопригодность тесно связана с безотказностью и долговечностью изделий. Так, для изделий, с высоким уровнем безотказности, как правило, характерны низкие затраты труда и средств на поддержание их работоспособности.

Показатели безотказности и ремонтопригодности изделий являются составными частями комплексных показателей, таких как коэффициенты готовности К _г, оперативной готовности К _ОГ и технического использования К _т.и..

К показателям надёжности, присущим только восстанавливаемым элементам, следует отнести среднюю наработку на отказ, наработку между отказами, вероятность восстановления, среднее время восстановления, коэффициент готовности, коэффициент оперативной готовности и коэффициент технического использования.

Средняя наработка на отказ — наработка восстанавливаемого элемента, приходящаяся, в среднем, на один отказ в рассматриваемом интервале суммарной наработки или определенной продолжительности эксплуатации:

где t_i — наработка элемента до i-го отказа; m — число отказов в рассматриваемом интервале суммарной наработки.

Наработка между отказами определяется объемом работы элемента от i -гo отказа до (i + 1)-го, где i =1, 2,..., m.

Среднее время восстановления одного отказа в рассматриваемом интервале суммарной наработки или определенной продолжительности эксплуатации

где t_вi — время восстановления i -го отказа.

Коэффициент готовности К_г представляет собой вероятность того, что изделие будет работоспособно в произвольный момент времени, кроме периодов выполнения планового технического обслуживания, когда применение изделия по назначению исключено. Этот показатель является комплексным, так как он количественно характеризует одновременно два показателя: безотказность и ремонтопригодность.

В стационарном (установившемся) режиме эксплуатации и при любом виде закона распределения времени работы между отказами и времени восстановления коэффициент готовности определяют по формуле:

,

где Т _о — средняя наработка на отказ;

Т_в — среднее время восстановления одного отказа).

Таким образом, анализ формулы показывает, что надёжность изделия является функцией не только безотказности, но и ремонтопригодности. Это означает, что низкая надёжность может быть несколько компенсирована улучшением ремонтопригодности. Чем выше интенсивность восстановления, тем выше готовность изделия. Если время простоя велико, то готовность будет низкой.

Другой важной характеристикой ремонтопригодности является коэффициент технического использования, который представляет собой отношение наработки изделия в единицах времени за некоторый период эксплуатации к сумме этой наработки и времени всех простоев, обусловленных устранением отказов, техническим обслуживанием и ремонтами за этот период. Коэффициент технического использования представляет собой вероятность того, что изделие будет работать в надлежащем режиме за время Т. Таким образом, К _т.и. определяется двумя основными факторами — надёжностью и ремонтопригодностью.

Коэффициент оперативной готовности К_ОГ определяется как вероятность того, что объект окажется в работоспособном состоянии в произвольный момент времени (кроме планируемых периодов, в течение которых применение объекта по назначению не предусматривается) и, начиная с этого момента, будет работать безотказно в течение заданного интервала времени.

Из вероятностного определения следует, что

К _ОГ = К _Г٠ R (t)

Коэффициент технического использования характеризует долю времени нахождения элемента в работоспособном состоянии относительно рассматриваемой продолжительности эксплуатации. Период эксплуатации, для которого определяется коэффициент технического использования, должен содержать все виды технического обслуживания и ремонтов. Коэффициент технического использования учитывает затраты времени на плановые и неплановые ремонты, а также регламенты, и определяется по формуле

K _ти = t _н/(t _н + t_в + t_р + t _о),

где t _н — суммарная наработка изделия в рассматриваемый промежуток времени; t_в, t_р и t _о — соответственно суммарное время, затраченное на восстановление, ремонт и техническое обслуживание изделия за тот же период времени.

Дата добавления: 2014-01-04