Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Лекция 4. Если событие А реализуется при осуществлении одного из событий

§ Формула полной вероятности

Если событие А реализуется при осуществлении одного из событий

Н1, Н2, …Нn (или гипотез), которые образуют полную группу событий

(т.е.: 1. и 2. ), то вероятность наступления события А равна сумме произведений вероятностей гипотез на соответствующую условную вероятность события А: - ФПВ

Доказательство:

Так как Н1, Н2, …Нn образуют полную группу событий, то событие А можно представить как пересечение n несовместных событий:

 

По III аксиоме Теории Вероятностей (вероятность суммы независимых событий равна сумме их вероятностей):

и по Теореме произведения вероятностей зависимых событий (Нk и А – в свою очередь зависимые события):

ч.т.д.

К формуле полной вероятности (ФПВ) применимо контрольное равенство:

 

Пример 1: По каналам связи передается одна из последовательностей:

с соответствующими вероятностями p1, p2 и p3;


Каждая принимаемая буква принимается с вероятностями: α – за правильную, и– за неправильные. Предполагается, что буквы искажаются независимо друг от друга.

Задание: 1. Какова вероятность того, что принята комбинация АВСА при условии передачи комбинации АААА?

2. Какова вероятность того, что принята комбинация АААА при условии передачи комбинации АВСА?

Решение:

1. Пусть событие символизирует то, что принята комбинация АВСА, тогда гипотезы:

Н1 – передана комбинация АААА

Н2 – передана комбинация ВВВВ

Н3 – передана комбинация СССС, и:

Найдем условную вероятность события при условии Н1:

Найдем условную вероятность события при условии Н2:

Найдем условную вероятность события при условии Н3:

Теперь подсчитаем вероятность события по ФПВ:

 

При решении второго задания нам придется применить формулу Байеса:

При выводе формулы Байеса сохраняются все предположения, принятые при выводе ФПВ и ставятся дополнительные условия: при проведении опыта событие А уже произошло. Это позволяет переоценить первоначальные вероятности гипотез:

P(Н1), P(Н2) и P(Нn) – априорные, т.е. доопытные вероятности.

Проводят испытание в отношении события А, которое может произойти лишь при осуществлении одной из гипотез. После того, как событие А произошло, можно уточнить (произвести переоценку) априорных вероятностей, т.е. вычислить вероятности – такие вероятности будут называться апостериорными.

Для условных вероятностей используется формула:

и заменяем в формуле P(А) на ФПВ, а в числителе получаем произведение зависимых событий - Формула Байеса

Пример 1: продолжение

 

 

Пример 2:

В тире находятся 7 ружей: 2 – с оптическими прицелами, 5 – без. Вероятность попадания в цель из оптического орудия равна 0,9. Из неоптического – 0,4.

Задание: какова вероятность того, что стреляли из оптического орудия, при условии, что цель поражена?

Решение:

Пусть событие А символизирует поражение цели, тогда гипотезы – Н1 и Н2 – будут означать соответственно выстрел из оптического ружья и ружья без оптического прицела.

Таким образом, вероятности выстрела (конкретно в этом тире) из оптического ружья P(Н1) = 2/7 и выстрела из ружья без оптического прицела P(Н2) = 5/7 – из условия.

P(А/Н1) = 0,9 и P(А/Н2) = 0,4

Итак, оказывается вероятность попадания в цель из ружья без оптического прицела оказалась больше вероятности поражения цели из оптического.

 

 

§ Сложные испытания. Испытания по схеме Бернулли

 

Пусть проведено n испытаний по событию А. Совокупность таких экспериментов будем обозначать так: и называть “сложным испытанием” или “композицией испытаний”.

В результате каждого простого испытания Ti, 1 ≤ i ≤ n, может произойти 2 случая: событие Аi произошло или не произошло, а т.е. произошло событие Āi

Пусть проводится сложное испытание из n независимых в совокупности испытаний, в каждом из которых лишь 2 исхода: Аi – успех, Āi – неудача, при условии, что в каждом испытании вероятность успеха – это постоянная величина и неудачи .

Такая схема независимых испытаний с двумя исходами с постоянными вероятностями называется схемой Бернулли.

 

Теорема Бернулли: Если по отношению к событию А проведено n испытаний по схеме Бернулли, то вероятность наступления события А ровно k раз вычисляется по следующей формуле:

, где 0 ≤ k ≤ n, - Биномиальный коэффициент, а

Вероятность Pn(k) называется биноминальной, т.к. это член разложения бинома Ньютона: , 0 ≤ k ≤ n

Доказательство: Для n=3

Возможны следующие реализации появления события А в трех испытаниях: А1, А2 и А3 и тогда эти 3 независимые испытания можно представить в виде:

А1 Ā2 Ā3, Ā1 А2 Ā3 и Ā1 Ā2 А3 ; количество таких реализаций, соответственно 3:

Тогда вероятность наступления события А в трех испытаниях 1 раз будет высчитываться так: Ч.Т.Д.

 

Пример 3: Проведено 3 выстрела по мишени. Вероятность попадания в цель равна 0,4.За каждое попадание в цель стрелку присуждается 5 очков.

Задание: Какова вероятность того, что стрелок получит 10 очков после трех выстрелов?

Решение: n = 3, k = 2

 

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Лекция 3. § Теорема умножения вероятностей для n любых событий | Обобщение формулы Бернулли
Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 350; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.009 сек.