Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Рівняння Нав'є-Стокса

 

Виділимо в потоці рідини, що рухається по каналу, елементарний паралелепіпед з ребрами dx,dy,dz (рис.3.2.1). На цей елемент діють три сили: сила тяжіння, сила тиску і сила тертя.

Рис. 3.2.1. До виведення диференційного рівняння руху в'язкої рідини,що не стискується

 

. Сила тяжіння може бути визначена з виразу:

G=g×r×dx×dy×dz

де р- густина рідини;

g- прискорення вільного падіння.

V=dx×dy×dz,

де V-об¢єм паралелепіпеда.

Силу тиску можна знайти з наступних міркувань. Гідростатичний тиск в даному випадку змінюється вздовж вертикальної вісі. Нехай на верхній грані значення тиску р, тоді на верхню грань діє сила:

P=p×dy×dz (Рис.2.1.2..б). Тиск біля нижньої грані елемента рівний:

 
 

тому сила тиску рівна:

Результуюча цих сил і буде силою тиску, що діє на елемент:


(3.2.1)

Силу тертя виразимо виходячи з припущень про плоско-паралельний рух потоку. В цьому випадку локальні швидкості руху частинки в потоці WX (рис. 3.2.1 б) змінюються лише в напрямку вісі у, а тертя виникає лише на бічних гранях AB і CD. Біля грані AB швидкість руху рідини менше, ніж швидкість руху виділеного елементу, тому сила тертя напрямлена проти руху. Якщо силу тертя, віднесену до одиниці поверхні, позначити через s¢, то сила тертя, що діє на грань AB, буде S=s¢×dx×dz.

(3.2.2)

Біля грані CD швидкість руху частинок більша, за швидкість руху елемента, і силу тертя, напрям котрої співпадає з напрямом руху елемента, можна виразити як

Результуюча зазначених сил і є сила тертя, що діє на елемент потоку рідини:

(3.2.3)

 
Згідно закону Ньютона-Петрова:

 

 

Тому силу тертя можна виразити як:

(3.2.4)

 

На основі другого закону механіки (рівнодіюча сила дорівнює масі, помноженій на прискорення) для даного випадку запишемо:

 
 

(3.2.5)

 

це диференційне рівняння для рівномірного сталого руху незріджуючої в'язкої рідини.,що не стискується.

Для випадку трьохмірного несталого руху в'язкої рідини (r=const),що не стискується отримують більш складні рівняння, але структура їх зберігається:

 

 

 

(3.2.6)

 

 

Рівняння (2.1.6) руху в’язкої рідини, що не стискується називають рівняннями Нав"є-Стокса. Де похідні DWX/dt, DWY/dt, DWZ/dt в лівій частині рівняння (3.2.6) являють собою повні похідні швидкості по часу:

 

(3.2.7)

 

Перші члени доданків правих частин рівнянь (3.2.7) визначають локальні зміни складових швидкості у часі. Три останні доданки правих частин рівнянь враховують переміщення елементу рідини з однієї точки простору в іншу.

Величини gХ, gУ, gZ - складові рівняння вільного падіння в напрямку окремих вісів координат.

Символом V2 (набла) позначений оператор Лапласа, що є сума других похідних:

(3.2.8)

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Кінетика фільтрування | Отримання чисел подібності з диференційного рівняння для рівномірного сталого руху рідини ,що не стискується
Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 964; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.009 сек.