Сила смертності

Розглянемо людину в віці років, ми також будемо говорити “життя в віці ”, позначаючи це так:. Час її майбутнього життя позначимо через, або точніше. Таким чином, - це вік людини в момент смерті.

Час майбутнього життяє випадковою величиною з функцією розподілу ймовірності

, . (1.1)

Функція визначає ймовірність того, що людина помре протягом наступних років, для довільного фіксованого . Ми вважаємо, що функція , розподіл ймовірності для , відома. Також вважаємо неперервною з щільністю ймовірності . Таким чином, можна записати

, (1.2)

що є ймовірністю того, що смерть наступить в нескінченно малий інтервал часу між і (або того, що вік життя в момент смерті буде знаходитися між та ).

Необхідні нам ймовірності та середні значення можна виразити через функції и . Проте, міжнародне актуарне товариство використовує свої позначення, які будемо використовувати і ми. Наприклад, імовірність того, що життя помре протягом наступних років, позначається символом . Таким чином, справедливою є рівність

. (1.3)

Аналогічно,

(1.4)

означає ймовірність того, що життя виживає протягом щонайменше наступних років. Ще один символ, який часто використовується

(1.5)

означає ймовірність того, що життя виживе протягом років, а потім помре протягом років.

Позначимо через умовну ймовірність того, що людина, досягнувши віку , виживе протягом наступних років. Тоді

. (1.6)

Аналогічно, визначається

, (1.7)

що є умовною ймовірністю смерті протягом років після досягнення віку .

Наведемо тотожності, які часто використовуються

(1.8)

і

. (1.9)

Ці тотожності мають очевидну інтерпретацію.

Очікуваний час майбутнього життя людини віку є, що позначається через і визначається формулою

, (1.10)

або через функцію розподілу

. (1.11)

Якщо , символ як правило опускається в позначеннях , , . Таким чином, - це ймовірність смерті протягом одного року, - ймовірність виживання протягом років і заступлення смерті протягом одного року.

Сила смертності життя в момент досягнення віку визначається співвідношенням

. (2.1)

З (1.2) и (1.4) можна отримати інше співвідношення для ймовірності смерті в інтервалі між і :

. (2.2)

Середній час майбутнього життя для може бути записаний у вигляді

. (2.3)

Апроксимація

(2.4)

справедлива для малих значень , що можна перевірити перестановкою значень і в (1.9) и порівняння результату з (2.2).

Силу смертності можна визначити також співвідношенням

. (2.5)

Інтегрування (2.5) дає

. (2.6)

3. Аналітичний розподіл для майбутнього життя

Будемо називати функцію аналітичним або «математичним» розподілом ймовірності, якщо вона може бути виражена простою формулою.

В минулому були намагання отримати універсальні аналітичні записи для , виходячи з деяких базисних постулатів. Ці спроби на сьогодні вважаються щонайменше наївними.

Аналітична формула має ту перевагу, що може бути безпосередньо підрахована через малу кількість числових параметрів. Статистичні методи більш доступні, коли невелика кількість параметрів підлягає оцінюванню.

Аналітичні формули є також привабливими з точки зору теоретичних досліджень.

Наведемо деякі приклади аналітичних розподілів, які носять імена їх „творців”.

Де Муавр (De Moivre 1724) постулював існування максимального терміну життя для людини і вважав, що рівномірно розподілене між віком життя 0 і , тобто, що для . Сила смертності тоді набуває вигляду

, , (3.1)

що є зростаючою функцією по .

Гомпертц (Gompertz 1824) постулював, що сила смертності зростає по експоненті

, , (3.2)

що краще описує смертність чим закон Де Муавра і в додаток не вимагає введення максимального віку життя .

Закон (3.2) був узагальнений Мекхемом (Makeham 1860), який запропонував закон

, . (3.3)

Закон смертності Мекхема додає константу, незалежну від віку компоненту , до експоненціально зростаючої сили смертності (3.2).

Спеціальні випадки законів смертності Гомпертца (при ) и Мекхема (при ) описують постійну силу смертності. Розподіл ймовірності для стає в цьому випадку експоненційним. Проте цей розподіл не відображає реальну картину смертності людей.

З (3.3) і (2.6), поклавши , імовірність виживання в моделі Мекхема можна записати у вигляді

, (3.4)

Вейбул (Weibull 1939) запропонував представляти силу смертності степеневою функцією від , а не експоненційною

, (3.5)

с фіксованими параметрами и . Імовірність виживання тоді запишеться

. (3.6)

4. Вкорочений час майбутнього життя для

Повертаючись до загальної моделі, яка була запропонована в розділах 1 і 2, визначимо випадкові змінні , , , які тісно пов’язані з випадковою змінною .

Назвемо , кількість повних років, які прожиті життям у майбутньому, вкороченим часом майбутнього життя для . Розподіл ймовірності цілочисельної випадкової змінної визначається формулою

(4.1)

для . Середнє значення називається середнім вкороченим часом майбутнього життя для і позначається . Тому

(4.2)

або

. (4.3)

Використання середнього вкороченого часу життя має переваги, оскільки (4.1) і (4.2) легше оцінити, чим (1.11) і (2.3). Іншою перевагою є те, що для знаходження достатньо знати розподіл .

Нехай - та частина року смерті , протягом якої він живий, тобто

. (4.4)

Випадкова змінна має неперервний розподіл між 0 і 1. Наближуючи її середнє значення величиною ½, ми знайдемо з (4.4) апроксимацію

, (4.5)

яка може бути використана на практиці для середнього часу майбутнього життя для .

Нехай і - незалежні випадкові змінні, так що умовний розподіл для , при заданому , не залежить від ; тоді

(4.6)

не залежить від аргументу , отже можна записати, що

(4.7)

для , і деякої функції .

Якщо обрати (рівномірний розподіл між 0 і 1), то апроксимація (4.5) стає точною. Більше того, використовуючи (4.6) і постульовану незалежність, дисперсію можна записати у вигляді

або . (4.8)

Для додатних цілих визначимо випадкову змінну

. (4.9)

Таким чином, отримується з округленням до наступного більшого кратного . Розподіл зосереджений в точках . Зауважимо, що незалежність між і веде за собою незалежність між і . Крім цього, якщо рівномірно розподілена між 0 і 1, то має дискретний рівномірний розподіл.

5. Таблиці життя (смертності). Основні математичні характеристики таблиць смертності

Розподіл імовірності майбутнього життя людини в віці може бути побудований на основі відповідної таблиці життя.

Таблиця життя – це за своєю суттю таблиця однорічних імовірностей смерті , яка повністю визначає розподіл .

Таблиці життя будуються на основі статистичних даних. Побудова таблиці життя використовує техніку оцінювання, вирівнювання і екстраполяції, що застосовується для врахування змін властивостей смертності від часу.

Таблиці смертності будуються для конкретних груп населення, які класифікуються за такими факторами як стать, раса, покоління і тип страхування. Вихідний вік дає великий вплив при побудові таких таблиць. Наприклад, нехай означає вік, коли людина купує контракт страхування життя. Оскільки страхування здійснюється тільки для людей з добрим здоров’ям (часто тільки після медичної перевірки), природно сподіватися, що людина, яка тільки що купила контракт на страхування, буде мати краще здорові при інших (зокрема вік) рівних факторах. Це явище враховується за допомогою таблиць життя з відбором. В таблицях життя з відбором ймовірність смерті вирівнюється у відповідності з віком входу у відібрану групу. Таким чином, - це однорічна ймовірність смерті для з віком на вході . Відбір веде до нерівностей

. (5.1)

Ефект відбору як правило пропадає через декілька, скажімо, через , років після входу. Ми вважаємо, що

. (5.2)

Період називається періодом відбору, і таблиця, яка використовується після закінчення періоду відбору, називається таблицею життя без відбору.

Розглянемо людину, яка купує контракт страхування життя у віці . При періоді відбору 3 роки такі ймовірності необхідні для визначення розподілу :

. (5.3)

Якщо елементи таблиці життя залежать тільки від досягнутого віку , вона називається об’єднаною таблицею життя. Вона зручна тим, що має тільки один вхідний параметр на відміну від таблиці з відбором, яка має два вхідних параметри. Однорічна імовірність смерті для даного досягнутого віку в об’єднаній таблиці життя зазвичай дорівнює зваженому середньому відповідних ймовірностей в таблицях з відбором і без відбору.

Хоча неважко користуватись таблицею життя з відбором, (див. наприклад (5.3)), ми будемо в подальшому для спрощення використовувати позначення об’єднаної таблиці життя.

Дата добавления: 2014-01-04