Оценка случайных погрешностей прямых измерений при нормальном распределении результатов наблюдений

Как показывает опыт, наиболее часто результаты наблюдения физических величин, связанных с энергией (напряжение, ток) могут аппроксимироваться нормальным законом. Плотность вероятности результатов наблюдений в этом случае:, (2.1)

где M(a_i) – математическое ожидание; σ² – дисперсия.

Пусть проведено n наблюдение величины А. Запишем эти результаты в виде:

a₁=A+∆a₁,

a₂=A+∆a₂, (2.2)

………….

a_n=A+∆a_n

Суммируя почленно левые и правые части равенств (2.2), получим:

(2.3)

Путем простых преобразований найдём из выражения (2.3) точечную оценку истинного значения:

(2.4)

Если число наблюдений достаточно велико (строго говоря, n→∞), то в силу нормальности распределения абсолютные погрешности одинаковой величины, но разного знака, появляются одинаково часто (в силу симметрии кривой плотности распределения относительно математического ожидания), а значит второй член в правой части равенства (2.4) будет равен нулю, следовательно,

(2.5)

Таким образом, из (2.4) следует, что при бесконечно большом числе наблюдений истинное значение измеряемой величины равно среднему арифметическому значению всех результатов наблюдений:

(2.6)

Смысл выражения (2.6) в следующем: точечной оценкой истинного значения измеряемой величины в случае нормального распределения наблюдений является среднее арифметическое по всем наблюдениям.

На практике число наблюдений не бесконечно. Чем меньше число усредненных наблюдений, тем больше величина зависит от отдельных результатов наблюдений, но так наблюдения случайные величины, то и среднее по конечному числу случайных величин также будет случайной величиной. Обозначим отклонение точечной оценки от истинного значения: = (2.7)

Погрешности наблюдений распределены по тому же закону, что и результаты наблюдений, так как результат i -го наблюдения и погрешность этого наблюдения отличаются на постоянную величину: А_i –A₀=∆_i., где A₀ – истинное значение измеряемой величины.

Отметим, что оценка (формула) определяется законом распределения случайных величин, которыми являются результаты единичных измерений, содержащих случайную погрешность.

Интуитивно ясно, что чем больше проведено и обработано результатов единичных измерений (наблюдений), тем меньше погрешность результата измерения (то есть результата, полученного после обработки серии наблюдений). Нормальное распределение описывается формулой:

(2.8)

Нормальное распределение полностью определяется двумя параметрами: М- математическим ожиданием и σ- дисперсией. Математическое ожидание представляет значение, относительно которого происходит разброс случайных величин и является абсциссой оси симметрии кривой нормального распределения. Дисперсия количественно характеризует разброс случайных величин вокруг математического ожидания (чем больше дисперсия, тем «толще» и ниже «колокольчик» - то есть чаще встречаются удаленные от математического ожидания результаты). Эти параметры будут постоянными величинами, если число наблюдений бесконечно (бесконечная выборка – т.е. генеральная совокупность). При конечной выборке n вместо математического ожидания можно получить только среднее значение:

, (2.9)

а вместо дисперсии среднеквадратическое отклонение:

(2.10)

Точечной оценкой называют оценку, которая определяется одним числом. При малом количестве обрабатываемых измерений n точечная оценка может значительно отличаться от оцениваемого параметра. Поэтому при небольшом объёме выборки необходимо рассмотреть надежность этой оценки, которую можно оценить неслучайным интервалом, расположенным вокруг точечной оценки, в который результат измерения попадет с заданной доверительной вероятностью (обычно в измерениях называемой «надежностью» и обозначаемой α).

Рассмотрим подробнее связь между истинным значением измеряемой величины А и её точечной оценкой – средним арифметическим значением. Чем меньше число наблюдений n, тем больше величина зависит от отдельных результатов наблюдений, но так как результаты наблюдений случайны, то среднее, найденное по конечному числу наблюдений, также будет случайной величиной. Обозначим - отклонение точечной оценки от истинного значения: (2.11) Отсюда видно, что из-за случайности средних случайными будут и отклонения. Однако, с увеличением числа усредняемых значений влияние величины каждого отдельного наблюдения на среднее становится меньше (действительно, с каждым новым значением к среднему прибавляется величина, где n - число наблюдений) и точечная оценка обретает так называемую статистическую устойчивость, и отклонение оценки от истинного значения меньше зависит от отдельных наблюдений. По смыслу - та погрешность, которую допускают, взяв вместо истинного значения его оценку – среднее арифметическое. Можно показать (например, на основе центральной предельной теоремы Ляпунова) что эта погрешность также распределена по нормальному закону с нулевым средним, но с другой дисперсией.

Установим связь между и дисперсией результатов наблюдений. Дисперсия линейной комбинации независимых случайных величин может быть выражена через дисперсии слагаемых (Л.4). Результаты наблюдений - независимые случайные величины с дисперсией. Следовательно

или (2.12)

Из (2.12) следует, что дисперсия среднего из n наблюдений в n раз меньше дисперсии результаты наблюдения. Иными словами, если за результат измерения принять наблюдение, то разброс такой оценки будет иметь дисперсию, а если за оценку принять результат полученный усреднением n наблюдений, то эта оценка характеризуется в n раз меньшей дисперсией.

Введём понятие доверительного интервала, (Ậ-ε; Ậ+ε) в который попадает результат измерения с заданной вероятностью Р_о. Доверительный интервал – неслучайная величина и его можно рассматривать как допустимое значение погрешности величины А с вероятностью Р_о, т.е. с вероятностью Р_о. Ясно, что чем больше величина доверительного интервала ε, тем с большей вероятностью в этот доверительный интервал попадёт значение измеряемой величины. С другой стороны, чем больше разброс, определяемый дисперсией оценки, тем меньше доверительная вероятность этого результата при том же значении доверительного интервала. Это хорошо видно из рисунка 2.5.

а

ε

ε

σ1

σ2

Р

Рис.2.5.

Вероятность попадания в интервал равна площади, ограниченной вертикальными линиями и кривой распределения. На чертеже площадь для распределения с определенной дисперсией σ_i численно равна вероятности попадания в интервал (А±ε), но так как площадь под всей кривой нормирована и равна единице, то площадь, ограниченная вертикальными линиями и кривой распределения, будет меньше, в случае, когда дисперсия (т.е. разброс) больше. В данном случае σ₁<σ₂.

Для нормального распределения связь между доверительной вероятностью и доверительным интервалом выражается соотношением

, (2.13)

где k- коэффициент, который находят по интегралу вероятностей:

(2.14)

Этот коэффициент табулирован и его можно найти, задавшись доверительной вероятностью Р ₀.

Для определения доверительного интервала по (2.13) нам неизвестна дисперсия и её нужно выразить через результаты наблюдений. При малом числе наблюдений (а именно это представляет практический интерес) самое большее, что можно сделать – найти её оценку. Так как мы считаем функцию распределения известной, то для нахождения оценки дисперсии можно воспользоваться методом максимального правдоподобия.(Л.1) Так как оценкой истинного значения является среднее, которое также как дисперсия, при малом числе наблюдений является случайной величиной, то оценка дисперсии:

(2.15)

Вернемся к определению величины доверительного интервала ε, который был введен формулой (2.13). Теперь в это выражение вместо неизвестной дисперсии серии можно подставить её оценку (2.15), полученную по результатам наблюдений. Но при малом числе наблюдений оценка сама будет случайной величиной, следовательно, из (2.13) случайной величиной будет и доверительный интервал, а этого не может быть по определению. При неизвестной дисперсии вводится новый коэффициент - коэффициент Стьюдента.

Рассмотрим случайную величину

(2.16)

Эта величина – отношение двух случайных величин, и её распределение есть совместная плотность, равная произведению функций распределения и. Можно показать (Л.4), что функция распределения величины t будет (распределение Стьюдента):

(2.17)

где В_n- нормирующий коэффициент, Г (·) – гамма-функция.

Из (2.17) видно, что распределение Стьюдента определяется параметром n (т.е.зависит от числа усредненных результатов наблюдения) – и не зависит от неизвестных значений А и. На рис. 2.6 показаны кривые плотности распределения Стьюдента для разных значений

n₃

n₂

n₃

Δ

Рис.2.6

При n →∞ распределение Стьюдента вырождается в нормальное. Поскольку p(n,t) – четная функция от t, вероятность попадания t в заданный интервал равна

(2.18)

Распределение Стьюдента можно рассматривать как нормальное распределение, у которого среднее и дисперсия являются случайными величинами. Чем меньше число наблюдений n, тем больше разброс (кривые шире и ниже, так как площадь под кривой должна равняться единице), а при n →∞ среднее и дисперсия становятся постоянными величинами и распределение становится просто нормальным. Это можно объяснить следующим образом. Если взять серии по n наблюдений, найти для каждой серии среднее и среднеквадратические и построить нормальные распределения для каждых и σ_n, то получили бы сдвинутые друг от друга по оси У гауссовы «колокольчики» (за счет разных математических ожиданий) разной ширины (за счет разных σ_n). Если усреднить все эти «колокольчики», то получится обобщенное для всех серий распределение Гаусса со случайным средним и дисперсией. Это распределение и есть распределение Стьюдента.

С помощью распределения Стьюдента устанавливается связь между доверительным интервалом ε, надежностью α и числом усредняемых для получения результата измерения наблюдений n

(2.19)

т.е. можно:

- задавшись интервалом ε и проведя n наблюдений определить надежность результата α;

- задавшись интервалом ε и надежностью α определить сколько нужно провести и усреднить результатов наблюдений;

- задавшись надежностью α и числом наблюдений n определить какова будет в этом случае надежность результата измерения.

Если сравнить (2.7) и (2.13), то видно, что в выражении (2.19) дисперсия заменена своей оценкой, а вместо коэффициента k, не зависящего от числа усредняемых наблюдений n, стоит коэффициент, определяемый по распределению Стьюдента и зависящий от n. Таким образом, интервальная оценка (2.19) является функцией числа наблюдений и может быть найдена по результатам этих наблюдений. Коэффициент табулирован (Л.2). Отметим, что для малого числа наблюдений (n <30), замена на k приводит к грубым ошибкам – к кажущемуся сужению интервала (так как не учитывается непостоянство среднего и разброса). Например, при n= 5 и α= 0,99 =4,6, а k= 2,60, то есть доверительный интервал для распределения Стьюдента в 1,8 раза шире, чем для нормального. При увеличении n эта разница уменьшается, так как распределение Стьюдента, как отмечалось, переходит в нормальное, т.е. = k при n →∞.

Интервальная оценка дисперсии результата измерений.

На практике и в частности в технике связи часто требуется определить степень разброса какого-либо параметра, например, нестабильность коэффициента передачи. Показателем разброса является дисперсия, но при малом числе наблюдений её оценка- среднее квадратическое отклонение – является случайной величиной, следовательно, необходимо определить степень доверия этой оценки, т.е. ввести интервальную оценку (найти доверительный интервал).

По-прежнему считаем, что результаты наблюдений распределены по нормальному закону. Выше были получены точечные оценки:

-для результатов наблюдений:

-для результатов измерений (усредненной серии из n) наблюдений:

Вычислим интервальную оценку, т.е. такой неслучайный интервал, в котором точечная оценка дисперсии будет находиться с заданной вероятностью. Методика вычисления аналогично той, которую использовали для распределения Стьюдента: введём распределение случайной величины, связанное с дисперсией, и определим границы, вероятность попадания в пределы которых будет равна заданной вероятности α. Рассмотрим случайную величину:

, (2.20)

где () распределено по нормальному закону, σ постоянная величина. Следовательно χ² представляет сумму квадратов нормированных нормально распределенных величин. В (Венцель) показано, что такая величина распределена по закону «хи-квадрат» (χ²- распределение):

k=2

k=4

0,1

0,2

0,3

k=10

р

, (2.21)

Рис.2.7

где k –число степеней свободы распределения, связанное с числом наблюдений соотношением k=n-1. На рисунке 2.7 приведены кривые этого распределения. Они асимметричны, начиная с k>2 у кривой есть максимум при значении. Для больших значений k распределение χ² переходит в нормальное распределение с математическим ожиданием и дисперсией равной 1.

Из формулы (2.20) можно выразить:, где. границы для доверительного интервала для σ² могут быть найдены с помощью χ² распределения, как показано на рисунке

р

α

Рис.2.8

где α – вероятность попадания в интервал (надежность); β – вероятность не попадания в интервал (β₁ - слева от и β₂ – справа от). Естественно, что полная вероятность

α+β₁+ β₂ =1. Если считать вероятность непопадания в доверительный интервал слева и справа одинаковой, т.е. β₁+ β₂=0,5(1-α), то можно записать систему неравенств:

с вероятностью β₁ (2.22а)

< с вероятностью α+β₁ (2.22б)

Исходя из этих неравенств, найдём или, откуда. Вероятность выполнения этих неравенств равна разности площадей (. Таким образом, значение дисперсии с надежностью α будет находиться в доверительном интервале. Значения и табулированы (Л.2).

Полученные выражения справедливы для доверительного интервала дисперсии результата наблюдения. Доверительный интервал для дисперсии результата измерения при n усредняемых наблюдений можно найти из неравенства:

2.4.Исключение грубых погрешностей

Чем меньше число наблюдений, тем больше влияние каждого наблюдения на результат усреднения, то есть тем больше оценка зависит от разброса каждого наблюдения. Поэтому наличие грубой погрешности, по определению сильно отличающейся от остальных наблюдений, особенно в малой серии, может сильно исказить оценку определяемого параметра, получаемую, как было показано, на основе усреднения результатов наблюдений.

Грубой называют погрешность наблюдения, существенно превышающую ожидаемую при данных условиях. На её появление повлиял какой-то фактор, несвойственный условиям измерения. Это обстоятельство даёт основание исключить результат, содержащий такую погрешность. Но для исключения нужно установить критерий, то есть четко определить, что считать грубой погрешностью, а что нет. Ведь большое отличие от других значений может быть следствием естественного (законного для данного распределения) разброса. Действительно, если считать, что результаты наблюдений распределены по нормальному закону, они могут с определенной вероятностью значительно отличаться от среднего. Более того, чем больше наблюдений, тем большее отклонение законно, т.е. согласуется с законом распределения. Покажем это.

Пусть результат наблюдения попадает в доверительный интервал с вероятностью α₁. Вероятность не попасть в этот интервал равна β₁=1-α₁ При n наблюдениях вероятность попадания всех n результатов в тот же доверительный интервал равна:

, (как вероятность свершения n независимых событий).

Тогда вероятность непопадания в этот же интервал при n наблюдениях:

,(2.23)

так как при <<1 можно пренебречь степенями выше первой.

Получается, что при малых вероятность попадания в интервал возрастает в n раз. Таким образом, вероятность больших статистических отклонений (т.е. согласующихся с распределением) растет с ростом числа наблюдений. Другими словами, чем больше n, тем с большее по абсолютному значению отклонение нельзя считать грубой погрешностью.

Когда определенно известно, что большое отклонение одного из результатов наблюдений возникло при воздействии факторов, не свойственных условиям получения остальных результатов (например, скачек напряжения в сети питания прибора) этот результат нужно исключить. Если это невозможно, то нужно переходить к методам статистической оценки.

Рассмотрим выявление грубой погрешности в предположении, что результаты наблюдений распределены по нормальному закону. Методы статистической оценки регламентирует ГОСТ 11.002-73 «Правила оценки анормальности результатов наблюдений».

Решение вопроса об анормальности сводится к тому, что по результатам наблюдения рассчитывается определенная функция случайной величины, для которой известно распределение вероятностей. Вычисленное по выборочным данным значение этой функции сравнивается с её предельным значением, соответствующим заранее принятой малой вероятности, называемым уровнем значимости. Если при этом выясняется, что вероятность подозреваемого в анормальности результата наблюдения меньше принятой, то выносится решение, что оцениваемый результат анормален и должен быть исключен; в противном случае его считают нормальным и не исключают.

Для проверки анормальности результаты наблюдений упорядочивают, т.е. записывают в виде:

,

т.е. подозрительными могут быть крайние (1-ый и n -ый члены последовательности). Подсчитываются среднее и среде квадратическое отклонения:

Чтобы оценить принадлежность крайних значений a_n и a₁ к данной нормальной совокупности и принять решение об исключении или оставлении a_n (a₁) в составе выборки, находят отношение:

(2.24)

Результаты сравнивают с величиной β, взятой из таблиц для данного числа наблюдений n и принятого уровня значимости α. Если, то подозреваемый результат наблюдения анормален и должен быть исключен, в противном случае его считают нормальным и не исключают. (Л.2)

2.5.Суммирование погрешностей

Систематические погрешности S_i суммируются алгебраически с учетом собственных знаков:

S_Σ =, (2.25)

где k –число слагаемых.

Коррелированные случайные погрешности суммируются с учетом их взаимных корреляционных связей. Так, для двух случайных зависимых погрешностей Δ₁ и Δ₂ найденных с одной и той же доверительной вероятностью (надежностью) α их результирующая погрешность с той же надежностью α будет:

, (2.26)

где ρ – коэффициент корреляции.

На практике обычно используют два крайних случая:

- соответствующих сильной связи погрешностей ρ=±1, тогдаΔ_Σ=, то есть погрешности суммируются алгебраически;

-соответствующий отсутствию зависимости ρ=0,

тогда для некоррелированных случайных погрешностей суммирование геометрическое: Δ_Σ =. (2.27)

2.6.Погрешности косвенных измерений

При косвенном измерении для нахождения интересующей нас величины приходится измерять другие величины, связанные с искомой величиной некоторой функциональной зависимостью. Например, необходимо определить величину У, а измерить возможно величины Х₁, Х₂,….Х_n, связанные с У известной функциональной зависимостью f:

У=f (Х₁, Х₂,….Х_n)

Величины Х_i измеряются с погрешностью Δ_i. Так как величины Х_i измерены с погрешностями, то будет погрешность и у искомой величины У, которую обозначим Δ_у – это и есть погрешность косвенного измерения.

Для нахождения погрешности косвенного измерения существую различные методы. Если погрешности прямых измерений (т.е. Δ_i) малы по сравнению с измеряемыми величинами, то нахождение погрешности косвенного измерения сводится к нахождению полного приращения функции, если известны приращения аргументов:

Если погрешности прямых измерений систематические, то эту формулу можно использовать для нахождения погрешности косвенного измерения.

Если погрешности прямых измерений случайны, то вместо погрешностей прямых измерений Δ_i подставляют значения доверительных интервалов, найденных с одинаковой надежностью α, и в этом случае погрешность косвенного измерения Δ_у имеет смысл доверительного интервала величины У, найденной с той же надежностью α.

Лекция 4

Дата добавления: 2014-01-04