Дифференциалы высших порядков

Ответ:.

Рассмотрим функцию . Дифференциал этой функции =зависит от и , причем от не зависит, так как приращение в данной точке можно выбирать независимо от точки . В этом случае в формуле первого дифференциала будет постоянным. Следовательно, если выражение зависит только от , то его мож­но дифференцировать по .

Определение. Дифференциал от дифференциала функции в данной точке называется дифференциалом второго порядка или вторым дифференциалом.

Дифференциал второго порядка обозначается или . Таким образом,

.

Аналогично дифференциал третьего порядка от функции

.

Вообще дифференциал -го порядка (или -й дифференциал) функции определяется как дифференциал от дифференциала (–1)-го порядка:

.

Найдем выражение для второго дифференциала функции , полагая в формуле первого дифференциала постоянным. Тогда

,

т. е. дифференциал второго порядка вычисляется по формуле:

.

Откуда можно выразить производную функции второго порядка как отношение ее дифференциала второго порядка к второй степени дифференциала независимой переменной:

.

Аналогично .

Можно установить справедливость формулы для дифференциала -го порядка

.

Отсюда следует, что производная -го порядка есть отношение ее дифференциала -го порядка к -й степени дифференциала не­зависимой переменной:

.

При этом предполагаем, что аргумент функции является независимой переменной.

Выведем теперь формулы для вычисления дифференциалов высших порядков для сложной функции , когда аргумент является дифференци­руемой функцией независимой переменной. Но для одного и того же , но для разных (и, следовательно, для разных ) приращения различны, т. е. в этом случае нельзя счи­тать независимыми от , так как является дифференциалом функции:

.

Поэтому при вычислении по определению

мы должны считать его дифференциалом от произведения двух функций и , т. е.

Итак,

Таким образом, в случае, когда аргумент не является неза­висимой переменной, второй дифференциал определяется форму­лой, состоящей из двух слагаемых.

Приведем формулу для вычисления дифференциала третьего порядка:

Из полученных формул для , следует, что при вычислении дифференциалов более высоких порядков от сложной функции про­исходит нарушение инвариантности формы. Другими словами, фор­мулы для дифференциалов порядка выше первого различны. Их вид зависит от того, является ли аргумент независимой переменной или дифференцируемой функцией другой переменной (Напомним, что для дифференциала первого порядка его форма записи остается неизменной).

Дата добавления: 2014-01-04