Графическое решение

Построим в плоскости область допустимых решений. Каждое неравенство системы (2.3.2) определяет в плоскости полуплоскость, лежащую выше или ниже прямой, определяемой соответствующим уравнением. Построим прямые

Рассмотрим точку с координатами . Подставив их в первое неравенство, получаем – верно, следовательно, искомая полуплоскость лежит ниже прямой ; остальные полуплоскости находятся аналогичным образом.

Область – область решения задачи.

Для нахождения максимального значения проверим граничные точки из области решений.

Построим две линии уровня:

Функция возрастает в направлении вектора-нормали , следовательно, минимум находится в точке (0;0). Максимум определяем, передвигая нашу линию уровня в направлении вектора параллельно самой себе до тех пор, пока хотя бы одна ее точка будет принадлежать области допустимых решений.

В данном случае это точка: ;

при этом .

Таким образом, для получения максимальной прибыли в размере 14 усл. ед. надо продать 4 изделия первого вида и 2 изделия второго вида.

Изложенный выше графический метод применим для решения задач линейного программирования следующего вида:

(2.3.3)

(2.3.4)

Алгоритм решения ЗЛП графическим методом.

1) Записывают уравнения прямых, соответствующих ограничениям (2.3.4), и строят их на плоскости .

2) Определяют области, в которых выполняются ограничения задачи. Для этого выбирают произвольную точку на плоскости и подставляют ее координаты в первую часть одного из неравенств. Если неравенство верно, то искомая полуплоскость находится с той же стороны от прямой, что и точка; в противном случае искомая полуплоскость лежит с противоположной стороны от прямой. Эти действия последо­вательно выполняются для всех неравенств (2.3.4).

3) Определяют область допустимых решений задачи как область пересечения полуплоскостей, соответствующих ограничениям задачи.

4) Определяют направление возрастания (убывания) целевой функции .Это можно сделать двумя способами. Можно построить вектор-нормаль , его направление показывает направление возрастания функции , в противоположном направлении функция убывает. Можно просто построить две линии уровня функции ; ; () – произвольные константы, ), и по их расположению определить направление возрастания (убывания) функции.

5) Определяют граничную точку (точки) области допустимых решений, в которых целевая функция принимает максимальное или минимальное значение.

6) Вычисляют значения найденной точки, решая совместно уравнения, задающие прямые, на пересечении которых находится эта точка, или выявляя уравнение граничной прямой области допустимых решений, с которой совпадает линия уровня целевой функции.

Возможны следующие варианты области допустимых решений (рис. 2.3.2 – рис. 2.3.5):

На рис. 2.3.2, 2.3.3 показаны варианты пересечения линии уровня целевой функции с областью допустимых решений. Может быть единственное решение – точка В, бесконечно много решений – отрезок CD (рис.2.3.2), максимальным (минимальным) значением целевой функции может быть (рис.2.3.3).

После изучения данного раздела целесообразно решить задачу 1 контрольной работы № 3.

Дата добавления: 2014-01-04