Виды критериев качества

Исходные данные Д определяют множество М_д допустимых точек (систем), из которых следует выбрать наилучшую или, по меньшей мере, приемлемую точку (систему). Чтобы осуществить такой выбор, необходимо сформулировать критерий качества кр.К. системы, входящей в полные исходные данные Д [см.(2.1)].

В практике проектирования распространено разбиение критерия качества на критерий приемлемости и критерий предпочтения.

Критерий приемлемости устанавливает границу между приемлемыми и неприемлемыми значениями вектора качества К. Например, при двух показателях качества эта граница может иметь вид кривой abc на рисунке 2.3.

К₁ а   в     с  

      К    

К₁

k_1max

0 К₂ k_2max K₂

Рисунок 2.3. Рисунок 2.4.

все значения вектора К, принадлежащие заштрихованной области, считаются приемлемыми, а не принадлежащие этой области - неприемлемые. В общем случае уравнение этой области можно записать в виде:

f (k_1,k_2,….k_m) ≤ 0 (2.9)

При этом приемлемое значение каждого показателя качества k_i зависит от значений остальных показателей. Например, на рисунке 2.3 приемлемое значение k₂ уменьшается с ростом k₁. Для упрощения критерия приемлемости большей частью принимают, что приемлемое значение каждого показателя k_i не зависит от значений остальных показателей, т.е. заменяют одно сложное (функциональное) неравенство (2.9) системой ограничений вида:

k₁≤ k_1max, k₂≤ k_2max,…,k_m≤ k_{m max,} (2.10)

где k_{1 max},…,k_{m max}- максимальные (предельно допустимые) значения показателей качества k₁,…k_m. При этом криволинейная граница рисунка 2.3 заменяется линейно-ломаной (рисунок 2.4)

Обозначим: О_к - совокупность ограничений показателей качества вида (2.9) или (2.10);

Д^"=(Д^',О_к)= (У, О_s, с.К, О_к) (2.11)

-совокупность исходных данных, отличающихся от полной совокупности Д [см.(2.1)] только тем, что критерий качества кр. К учтён лишь введением критерия приемлемости О_к.

Каждая система, удовлетворяющая совокупности исходных данных (2.11), является не только допустимой [т.е. удовлетворяющей исходным данным (2.8)], но и приемлемой. Такую систему будем называть строго допустимой М_сд. Очевидно, множество М_сд является частью множества М_д, получаемой выделением из М_д области (множества), удовлетворяющей ограничениям О_к. Например, если М_д имеет вид, изображённый на рисунке 2.2) и повторённый на рисунке 2.5).

k₁     1 3 2       5 4   7   k₂     k₂                                              

k₁ a d a¹ d¹     b   c¹ c 1 k₂

Рисунок 2.5. Рисунок 2.6.

(область abcd),а ограничения О_k определяются неравенствами:

k₁≤ k_{1 max}, k₂≤ k_{2 max} , (2.12)

то множеству М_сд соответствует область a¹ bc¹ d¹, отмеченная на рисунке 2.5 штриховкой. Множества М_д и М_сд содержат континуум точек. Однако в некоторых случаях эти множества могут содержать лишь конечное число точек, из которых только две (4 и 6) являются строго допустимыми. Случай, когда имеется конечное число точек (систем) и требуется сравнить их, называется задачей дискретного выбора.

В зависимости от вида ограничений О_s множества М может быть выпуклым или невыпуклым. Множество М называется выпуклым, если все точки отрезка прямой, соединяющей любые две точки множества М, принадлежат этому множеству; в противном случае, множество называется невыпуклым. Например, множество М_сд, изображённое на рисунке 2.7а - выпуклое, а на рисунке 2.7б - невыпуклое; у отрезка bc не все точки, а лишь граничные b и c, принадлежат этому множеству.

D

а) б)

Рисунок 2.7.

Все строго допустимые системы (все точки множества М_сд) с точки зрения их применения являются приемлемыми. Однако, желательно из всего множества М_сд выбрать наилучшую. Для решения этой задачи необходимо сформировать соответствующий критерий предпочтения. Рассмотрим сначала, так называемый, безусловный критерий предпочтения (БКП). Пусть сравниваются две системы S^' и S^",которым соответствуют векторы качества k^'= <k^'_1,….k^'…,k^'_m> и К^"= <k^"₁,…,k^"_i,…k^"_m>, имеющие стандартный вид, т.е. чем меньше k₁, тем лучше система при неизменных значениях остальных (m-1) показателей. Очевидно, необходимое и достаточное условие того, что система S^" лучше, чем S^', имеет вид:

k"_i ≤ k'₁ для всех i= 1,m (2.13)

и, по меньшей мере, для одного номера i= io выполняется строгое неравенство:

k"_io<k'_io (2.13')

Условие (2.13) сокращённо записывается так:

К"≤ К' (2.14)

Действительно, из (2.13) или (2.14) следует, что у системы S" все показатели качества не хуже, чем у системы S'₁ и, по меньшей мере, один из них не только не хуже, а лучше.

Путём аналогичных рассуждений не трудно убедиться, что если вместо (2.13) выполняются обратные неравенства:

К"³К' (2.15)

Таким образом, БКП может сформулирован следующим образом:

(2.16)

если К"≤ К', то система S" безусловно лучше, чем S',

если К"³ К', то система S" безусловно хуже, чем S',

а при равенстве К"= К системы S" и S' эквивалентны по

качеству.

Однако возможны такие случаи, когда для векторов К" и К' не будет выполняться ни одного из соотношений (2.16). Например, если К'=<1,10>, а К"= <2,5>, то К"≠К', но несправедливы и неравенства К"≤ К' и К"³ К'. В таких случаях системы S"и S' не могут быть признанными ни эквивалентными, ни безусловно превосходящими друг друга по качеству: они оказываются по БКП несравнимыми.

Для их сравнения необходимо ввести какой-либо другой критерий предпочтения, называемый условным критерием предпочтения (УКП), ибо необходимо дополнительно условиться, по какому принципу одной комбинации показателей качества <k'_1…, k'_m> должно отдаваться предпочтение по сравнению с другой комбинацией <k"₁,…k"_m> этих показателей, т.е. одному значению вектора качества К' по сравнению с другим значением К".

Для этого вводится результирующая скалярная функция векторного аргумента:

К_рез= f_рез(k₁,…k_m)= f_рез (К), (2.17)

где К_рез - скалярная величина, называемая результирующим (обобщённым) показателем качества: f_рез(k₁,…k_m)- некоторая вполне определённая функция показателей качества k₁,…,k_m, называемая результирующей целевой функцией; её вид выбирается исходя из назначения системы. Например, иногда оказывается возможным и целесообразным полагать, что

К_рез= С₁k₁+ С₂k₂+…+С_mk_m, (2.18)

где С_i- весовые коэффициенты, удовлетворяющие условиям

С_i> 0, ∑^m_i=1C_i= 1.

Вид функций f_рез (.) можно выбрать таким, что чем меньше К_рез, тем лучше система. Такая результирующая целевая функция называется функцией потерь, чем меньше потери, тем лучше система. Можно выбрать вид функции f_рез (.) и таким, что чем больше величина К_рез, тем лучше система. Такая результирующая целевая функция называется функцией полезности.

Поскольку результирующий показатель качества К_рез является скалярной величиной, а не векторной, введение функции (2.17) позволяет сравнить между собой такие системы, которые по БКП оказываются принципиально несравнимыми. Однако это преимущество УКП сопровождается весьма серьёзным недостатком: требуется обосновать вид результирующей целевой функции (2.17), что, как правило, возможно лишь со значительной степенью субъективности.

Дата добавления: 2014-01-04