Основы теории напряженного состояния

Напряженное состояние в точке – совокупность напряжений, действующих во множестве площадок, проходящих через данную точку.

Исследуя напряженное состояние в данной точке деформируемого тела, в ее окрестностях выделяют бесконечно малый (элементарный) параллелепипед, ребра которого направлены вдоль соответствующих координатных осей.

При действии на тело внешних сил на каждой из граней элементарного параллелепипеда возникают напряжения, которые представляют нормальными и касательными напряжениями – проекциями полных напряжений на координатные оси.

Таким образом, на гранях элементарного параллелепипеда, выделенного в окрестности точки нагруженного тела, действует девять компонентов напряжения. Запишем их в виде матрицы, которая называется тензором напряжений

(3.10)

Не все девять компонентов напряжений, действующих на гранях параллелепипеда, независимые (несвязанные друг с другом). В этом легко убедиться, составив уравнения равновесия суммы моментов относительно координатных осей. Записав уравнения моментов от сил, действующих по граням параллелепипеда, и пренебрегая их изменением при переходе от одной грани к другой ей параллельной, получим, что

, ,

Данные равенства называют законом парности касательных напряжений.

Закон парности касательных напряжений: на взаимно перпендикулярных площадках действуют равные по величине и противоположно направленные касательные напряжения.

В окрестности исследуемой точки можно выделить бесконечное множество взаимно перпендикулярных площадок. В том числе можно найти такие площадки, по граням которых действуют только нормальные напряжения, а касательные напряжения равны нулю. Такие площадки называют главными.

Главные площадки – три взаимно перпендикулярные площадки в окрестности исследуемой точки, на которых касательные напряжения равны нулю.

Главные напряжения – нормальные напряжения, действующие по главным площадкам.

На главных площадках нормальные напряжения принимают свои экстремальные значения

Тензор напряжений для главных площадок: (3.11)

В зависимости от того, сколько главных напряжений действует в окрестности данной точки, различают три вида напряженного состояния:

1. Линейное (одноосное) – если одно главное напряжение отлично от нуля, а два других равны нулю (, , );

2. Плоское (двухосное) – если два главных напряжения отличны от нуля, а одно равно нулю (, , );

3. Объемное (трехосное) – если все три главных напряжения отличны от нуля (, , );

Напряженное состояние в точке при плоском напряженном состоянии можно описать с помощью круга Мора, построенного в координатных осях и . Здесь и точки, соответствующие напряженному состоянию на любых двух взаимно перпендикулярных площадках и с координатами (; ) и (; ) соответствен-но. Через эти две точки проводится окружность радиусом или (точка С – центр круга Мора). В точках, где круг Мора пересекает ось можно найти величину главных нормальных напряжений (так как касательные напряжения равны нулю.

Дата добавления: 2014-01-04