Зависимость критической силы от условий закрепления стержня

Устойчивость сжатого стержня. Задача Эйлера

Р

При определении критической силы, вызывающей потерю устойчивости сжатого стержня, предполагается, что стержень идеально прямой и сила Р приложена строго центрально. Рассматриваемый метод решения основан на том, что при достижении силой Р критического состояния (Р = Р _кр) стержень находится в безразличном состоянии и ему присущи две формы равновесия: прямолинейная и криволинейная (в таких случаях говорят, что происходит ветвление, или бифуркация, равновесных состояний). Для выявления криволинейной формы равновесия достаточно приложить к стержню малую поперечную возмущающую нагрузку Q, которая вызовет малый прогиб. Если
Р < Р _кр, то при удалении Q стержень будет сохранять прямолинейную форму равновесия. Если Р > Р _кр, то равновесие стержня становится неустойчивым и сколь угодно малое возмущение достаточно для того, чтобы возникли большие прогибы. Задачу о критической нагрузке сжатого стержня с учетом возможности существования двух форм равновесия при одном и том же значении силы решил академик Петербургской Академии наук Л. Эйлер в 1744 году.

Рассмотрим шарнирно опертый по концам стержень, сжатый продольной силой Р. Допустим, что по какой-то причине стержень получил малое искривление оси, вследствие чего в нем появился изгибающий момент M:

, (8.3)

где y – прогиб стержня в произвольном сечении с координатой x.

Для определения критической силы можно воспользоваться приближенным дифференциальным уравнением упругой линии:

, (8.4)

где E – модуль Юнга; J – осевой момент инерции сечения стержня относительно оси z в данном случае; E · J ­– жесткость стержня при изгибе. Знаки левой и правой части согласованны в данной системе координат.

Проведя преобразования, можно увидеть, что минимальное значение критическая сила примет при n = 1 (на длине стержня укладывается одна полуволна синусоиды) и J = J_min (стержень искривляется относительно оси с наименьшим моментом инерции)

(8.5)

Это выражение обычно называют формулой Эйлера, а определяемую с ее помощью критическую силу – эйлеровой силой.

Формула Эйлера была получена для основного случая – шарнирного опирания стержня по концам (рис.8.3). На практике встречаются и другие случаи закрепления стержня. При этом можно получить формулу для определения критической силы для каждого из этих случаев, решая, как в предыдущем параграфе, дифференциальное уравнение изогнутой оси балки с соответствующими граничными условиями. Но можно использовать и более простой прием, если вспомнить, что, при потере устойчивости на длине стержня должна укладываться одна полуволна синусоиды.

Рассмотрим некоторые характерные случаи закрепления стержня по концам и получим общую формулу для различных видов закрепления.

1. Стержень длиной l закреплен в жесткой заделке и сжат продольной силой (рис.8.4, а). Из сравнения вида изогнутой оси балки для рассматриваемого и основного случаев можем сделать вывод, что ось стержня, защемленного одним концом, находится в тех же условиях, как и верхняя половина шарнирно опертого стержня длиной 2· l. Таким образом, критическая сила для стержня длиной l с одним защемленным концом может быть найдена так же, как и для шарнирно опертой балки длиной 2· l, то есть

. (8.6)

2. Стержень длиной l, у которого оба конца жестко защемлены (рис.8.4, б). Средняя часть стержня, с двумя жестко защемленными концами находится в тех же условиях, что и шарнирно опертая балка длиной l/2. Таким образом, критическая сила для стержня длиной l с двумя защемленными концами может быть определена так же, как и для шарнирно опертой балки длиной l/2, то есть

. (8.7)

3. Стержень длиной l, у которого один конец жестко заделан, а другой шарнирно оперт (рис.8.4, в). Критическая сила для стержня длиной l с защемленным и шарнирно опертым концами может быть определена так же как и для шарнирно опертой балки длиной 0,7· l, то есть

. (8.8)

Все полученные решения можно объединить в одну общую формулу

, (8.9)

где · l = l _пр – приведенная длина стержня; l – фактическая длина стержня; – коэффициент приведенной длины, показывающий во сколько раз необходимо изменить длину стержня, чтобы критическая сила для этого стержня стала равна критической силе для шарнирно опертой балки. (Другая интерпретация коэффициента приведенной длины: показывает, на какой части длины стержня для данного вида закрепления укладывается одна полуволна синусоиды при потере устойчивости.)

8.4. Критические напряжения. Расчет на устойчивость стержня
при упруго-пластических деформациях

Введем понятие критического напряжения, то есть напряжения, соответствующего критической силе при потере устойчивости сжатого стержня

. (8.10)

Вспомним, что – квадрат минимального радиуса инерции. Тогда формулу (8.10) можно записать так:

(8.11)

Величина

(8.12)

называется гибкостью стержня.

Окончательно получим

(8.13)

Как видим, критическое напряжение зависит только от упругих свойств материала (модуля Юнга E) и гибкости стержня. При этом зависимость между σ_кр и может быть представлена гиперболической кривой, называемой гиперболой Эйлера.

σ_т σ_пп  

Вывод формулы Эйлера основан на применении дифференциального уравнения упругой линии балки. Поэтому использовать эту формулу можно лишь в том случае, когда деформирование материала протекает в соответствии с законом Гука, то есть пока критическое напряжение не превысит предела пропорциональности (по диаграмме сжатия материала):

(8.14)

Используя это соотношение, можно найти условие для определения предельной гибкости стержня _пр, когда еще возможно применение формулы Эйлера:

(8.15)

Например, для малоуглеродистых сталей (E = 2·10⁵ МПа, _пп ≈
200 МПа) предельная гибкость

(8.16)

Итак, при >_пр для определения критической силы будем пользоваться формулой Эйлера, если же <_пр, то формула Эйлера становится неприемлемой, так как дает завышенные значения критической силы, то есть всегда переоценивает действительную устойчивость стержней.

Поэтому использование формулы Эйлера для стержней, теряющих устойчивость за пределом пропорциональности не только неправильно, но и опасно.

Теоретическое решение задачи об устойчивости за пределом пропорциональности сложно, поэтому для расчетов на устойчивость в этой области обычно пользуются эмпирическими формулами, полученными в результате обработки большого числа экспериментальных данных.

σ_пп  

Прежде всего, выделим стержни с малой гибкостью, у которых (для стали). Эти короткие стержни будут выходить из строя главным образом за счет потери прочности, потеря устойчивости в таких случаях, как правило, не наблюдается. Таким образом, для стержней малой гибкости при сжатии проводят обычный расчет на прочность, принимая в качестве предельного напряжения предел текучести σ_т (для пластичных материалов) или предел прочности σ_в (для хрупких материалов). Этому условию соответствует горизонтальная прямая на рис.8.7.

Для практических (инже-нерных) расчетов стержней средней гибкости, у которых чаще всего используется эмпирическая зависимость, предложенная Ф.С. Ясин-ским на основе изучения опытных данных (формула Ясин­ского):

, (8.17)

где a и b – эмпирические коэффициенты, зависящие от материала (например, для стали 40: a =321 МПа, b =1,16 МПа).

Формуле Ясинского на диаграмме критических напряжений соответствует наклонная прямая.

Дата добавления: 2014-01-04