Общее решение дифференциальных уравнений длинной линии

Задача анализа цепей с распределенными параметрами

Основные отличия цепей с сосредоточенными параметрами от цепей с распределенными параметрами состоят в следующем.

Электрические цепи, процессы в которых описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями, называются цепями с сосредоточенными параметрами. Цепи такого типа используют на сравнительно низких частотах, когда длина волны электромагнитных колебаний существенно больше размеров исследуемого устройства.

При этих условиях в исследуемых устройствах и их элементах удается выделить конечное число участков, в которых преобладает какой-то один из основных эффектов — запасание энергии электрического или магнитного полей, преобразование электрической энергии в другие виды энергии или преобразование энергии сторонних сил в электрическую. Токи рассматриваемой реальной цепи, являясь функциями времени, имеют одинаковые мгновенные значения в пределах каждого из выделенных участков. Заменяя эти участки идеализированными активными или пассивными элементами, получают идеализированную цепь, содержащую конечное число элементов, значения параметров которых конечны.

Таким образом, цепи с сосредоточенными параметрами представляют собой идеализированные цепи, моделирующие реальные устройства или их элементы при условиях, когда можно предположить, что каждый из перечисленных выше основных электрических эффектов проявляется в конечном числе пространственно локализуемых областей.

Направляющие системы используются в электросвязи для передачи сообщений на большие расстояния при высокой частоте и скорости передаваемого сообщения. Очевидно, что направляющие системы имеют больш у ю протяженность, и поэтому длина линии связи соизмерима или существенно больше длины волны используемых электромагнитных колебаний.

В этих условиях невозможно пространственно локализовать области, в которых проявляются только эффекты одного типа. Это связано с тем, что даже при бесконечно малой длине выделяемых участков, в пределах каждого из них одновременно имеют место несколько из перечисленных основных эффектов, причем ток в пределах выделенных участков изменяется от одного сечения к другому. При этом цепи, моделирующие реальные устройства, должны содержать бесконечно большое число идеализированных элементов, параметры которых имеют бесконечно малые значения. Процессы в таких цепях описываются дифференциальными уравнениями в частных производных, а цепи называются цепями с распределенными параметрами.

В зависимости от условий и требуемой точности исследования каждый элемент реальной цепи и, следовательно, каждая реальная цепь в целом могут быть заменены моделирующей цепью с сосредоточенными или распределенными параметрами.

Рассмотрим, например, конденсатор, который конструктивно представляет собой две проводящие обкладки 1 и 3, разделенные слоем диэлектрика 2 (рис. 1.41).

Рис.1. Упрощенная конструкция конденсатора

На частотах до 1ГГц (λ > 30см), когда длина волны электромагнитных колебаний значительно превышает геометрические размеры обкладок, он может быть представлен одной из моделирующих цепей с сосредоточенными параметрами. На более высоких частотах, когда длина волны электромагнитных колебаний сравнима с геометрическими размерами обкладок, необходимо учитывать, что процессы запасания энергии электрического и магнитного полей, а также необратимое преобразование электрической энергии в другие виды энергии имеют место вдоль всей длины обкладок конденсатора. В этом случае схема замещения элементарного участка конденсатора длиной d x будет содержать индуктивность L ₀ и емкость С ₀, характеризующие процессы запасания энергии магнитного и электрического полей, а также сопротивление R ₀ и проводимость утечки G ₀, учитывающие потери энергии в конденсаторе (рис.2, а). Схема замещения всего конденсатора должна состоять из бесконечно большого числа таких секций. Следовательно, идеализированная цепь, моделирующая конденсатор в рассматриваемом диапазоне частот, представляет собой цепь с распределенными параметрами.

Рис.2. К определению понятия цепи с распределенными параметрами

На примере цепи, схема которой изображена на рис.2,а, можно показать, что электрические процессы в цепях с распределенными параметрами описываются дифференциальными уравнениями в частных производных. Действительно, ток i = i(x, t) и напряжение u = u(х, t) рассматриваемой цепи являются функциями времени t и координаты х. Приращения тока и напряжения на участке цепи длиной d x

Будем считать, что параметры элементов моделирующей цепи R ₀, L ₀, С ₀ и G ₀ не зависят от токов и напряжений, и их можно выразить через погонные (т. е. приходящиеся на единицу длины) параметры R ₁, L ₁, С ₁ и G ₁:

R ₀ = (R ₁ /2)d x; L ₀ = (L ₁ /2)d x; C ₀ = (C ₁ /2)dx; G ₀ = (G ₁ /2)d x.

На основе уравнения баланса токов и напряжений элементарного участка цепи (рис.2,а) могут быть получены следующие соотношения:

Решая уравнения (1.44), (1.45) при соответствующих начальных и граничных условиях, можно определить токи и напряжения цепи с распределенными параметрами в конкретном режиме.

Отметим, что уравнениям (1.44), (1.45) может быть поставлена в соответствие более простая схема замещения элементарного участка цепи (рис.2, б). Аналогичный вид имеют высокочастотные схемы замещения и ряда других элементов, входящих в состав радиоэлектронных устройств, в частности двухпроводных и коаксиальных линий передачи.

В зависимости от числа координат, вдоль которых происходит изменение тока и напряжения и вдоль которых «распределены» параметры цепи, различают одномерные, двухмерные и трехмерные цепи с распределенными параметрами. В курсе «Направляющие системы электросвязи» нас будут интересовать в основном одномерные цепи с распределенными параметрами, процессы в которых описываются дифференциальными уравнениями (1.44), (1.45).

Итак, токи и напряжения в одномерной цепи с распределенными параметрами являются функциями двух переменных — времени t и координаты x.

Исторически сложилось так, что первыми в качестве одномерных цепей с распределенными параметрами стали представлять так называемые длинные линии, т. е. линии передачи энергии от источника к нагрузке, длина которых значительно превышает длину волны передаваемых электромагнитных колебаний. Поэтому одномерные цепи с распределенными параметрами часто называют длинными линиями или линиями, а уравнения (1.44), (1.45), описывающие зависимости между токами и напряжениями элементарного участка одномерной цепи с распределенными параметрами,— дифференциальными уравнениями длинной линии или телеграфными уравнениями. Мы будем использовать термины «длинная линия» или «линия» как синонимы термина «одномерная цепь с распределенными параметрами».

Одномерные цепи с распределенными параметрами, применяемые для моделирования различных реальных цепей и их элементов, отличаются одна от другой в основном значениями погонных параметров R ₁, L ₁, С ₁, G ₁ и характером их зависимости от координаты, времени или режима работы цепи. В линейных инвариантных во времени цепях с распределенными параметрами погонное сопротивление R ₁, индуктивность L ₁, емкость С ₁ и проводимость утечки G ₁ не зависят от времени и режима работы цепи. Погонные параметры могут изменяться вдоль цепи по определенному закону либо иметь одинаковые значения на всех ее участках. Линейные инвариантные во времени цепи с распределенными параметрами, погонные параметры которых постоянны и не зависят от координаты, называются однородными (регулярными). Цепи, погонные параметры которых являются функциями координаты, называются неоднородными (нерегулярными).

В зависимости от того, какие процессы в исследуемой реальной цепи имеют преобладающий характер, а также от степени идеализации схема замещения элементарного участка линии может не содержать тех или иных из показанных на рис.2 элементов. В соответствии с этим цепи с распределенными параметрами подразделяют на цепи без потерь (LC -линии), индуктивно-емкостные с потерями (LCR -линии), резистивно-емкостные (RС -линии), резистивно-индуктивные (RL -линии) и резистивные (RG -линии). Нас будут в большей степени интересовать процессы в линиях без потерь и в линиях общего вида с малыми потерями, которые используются в основном для моделирования реальных линий передачи в современной телефонии.

Задача анализа цепей с распределенными параметрами обычно сводится к определению законов изменения токов и напряжений вдоль цепи, а также к исследованию частотных или временных характеристик цепи относительно внешних зажимов. С этой целью необходимо найти частные решения дифференциальных уравнений линии (1.44), (1.45) при соответствующих начальных и граничных условиях. Мы ограничимся рассмотрением однородной линии длиной l (рис.3), поскольку решение данных уравнений для неоднородных линий может быть получено только при некоторых частных видах зависимостей погонных параметров от координаты.

Рис.3. Схема замещения однородной длинной линии

Для решения дифференциальных уравнений линии используют операторный метод, который позволяет перейти от решения дифференциальных уравнений в частных производных для мгновенных значений токов и напряжений линии к решению обыкновенных дифференциальных уравнений, составленных относительно операторных изображений соответствующих токов и напряжений .

В курсе ОТЦ показано, что при нулевых начальных условиях, т.е. при и , задача сводится к решению двух дифференциальных уравнений:

уравнения, составленного относительно напряжения:

и уравнения, связывающего напряжение и ток:

Входящие в эти уравнения величины

называется операторным коэффициентом распространения, а параметры

Z ₁(p) = R ₁ + pL ₁, Y ₁(p) = G ₁ + pC ₁

называется операторным погонным сопротивлением и погонной проводимостью линии.

Таким образом, распределение операторных изображений токов и напряжений в линейной однородной инвариантной во времени цепи с распределенными параметрами описывается решениями линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, общее решение которого имеет вид

где А ₁(р), А ₂(р) — постоянные интегрирования, определяемые граничными условиями задачи, т.е. значениями неизвестных функций и в начале (x = 0) или в конце (x = l) линии.

Выражение для операторного изображения тока линии

где величина

называется операторным волновым сопротивлением линии.

Определяя значения постоянных интегрирования А ₁(р), А ₂(р), соответствующие тем или иным граничным условиям, и подставляя их в выражения для и , можно получить операторные изображения тока и напряжения в любом сечении линии при произвольном внешнем воздействии, а также найти любые частотные и временные характеристики исследуемой цепи.

Дата добавления: 2014-01-04