Области применения математических методов

Принятие эффективных управленческих решений базируется на обработке имеющейся исходной информации с помощью адекватных алгоритмических и эвристических процедур. Наличие совокупности математических методов решения задач управления обеспечивает возможность оперативного и обоснованного принятия управленческих решений, в том числе с помощью автоматизированных систем.

В настоящее время апробированы математические методы решения

следующих задач подготовки управленческих решений:

· оптимизация выпуска однородной продукции при нескольких

технологических способах, что обеспечивает получение максимальной общей прибыли при ограничениях на объемы ресурсов и запасов и на производство единицы продукции;

· оптимизация производственной программы при заданной технологии,

когда находятся объемы выпуска продукции определенного вида, обеспечивающие получение максимальной прибыли при заданных значениях расходов другого ресурса и величины прибыли на единицу продукции определенного вида;

· оптимизация состава парка машин разного типа, когда известны их

стоимость и производительность при выполнении конкретных работ, обеспечивающих выполнение плана при минимуме затрат на покупку этих машин;

· определение оптимальной загрузки оборудования для достижения минимума

себестоимости продукции при известных стоимости и производительности этого оборудования;

· оптимальное размещение организации — поставщика продукции, при

котором минимизируется число тонно-километров перевозок к потребителям с заданным потреблением и расположением;

· распределение капитальных вложений для объектов незавершенного

строительства, по каждому из которых известны предыдущие капитальные вложения и максимально возможные для освоения их объемы в планируемом году при соблюдении предельного значения общего фонда финансирования незавершенного строительства;

· прикрепление потребителей к поставщикам таким образом,

чтобы, суммарные транспортные расходы по доставке всей продукции потребителям были минимальны;

· назначение по объектам работников различных специальностей для

достижения максимальной производительности;

· расчет временных и ресурсных параметров сетевых моделей.

Большое число экономических задач сводится к линейным математи­ческим моделям. Традиционно их называют моделями линейного програм­мирования. Этот термин появился в конце 30-х годов XX в., когда компью­терное программирование еще не было развито. Под линейным программированием понимается линейное планирование, т.е. получение оптимального плана-решения в задачах с линейной структурой. Обычно его используют специалисты штабных подразделений для разрешения производственных трудностей. Типичными примерами применения модели линейного программирования являются следующие:

· укрупненное планирование производства (составление графиков

производства, минимизирующих общие издержки в связи с изменением
ставки процента);

· планирование ассортимента изделий (определение оптимальной

структуры производства продуктов питания для человека);

· маршрутизация производства изделий (определение оптимального

технологического маршрута изготовления изделия);

· регулирование запасов (определение оптимального сочетания продуктов

на складе);

· календарное планирование производства (составление календарных

планов, минимизирующих издержки с учетом расходов на содержа­ние запасов, оплату сверхурочной работы и заказов на стороне);

· планирование распределения продукции и др.

Недостатком метода линейного программирования является его узость, так как он не учитывает все факторы, необходимые для принятия решений. Например, при разработке плана производства не учитывается фактор «рыночный спрос». Тем не менее получаемый план производства обоснован. Поэтому результаты, получаемые с помощью экономико-математической модели, могут применяться как рекомендательные при принятии решения.

При применении экономико-математических моделей распределения ресурсов применяются различные механизмы распределения ограниченных ресурсов:

· прямых приоритетов, когда каждому потребителю приписывается конкретный приоритет;

· обратных приоритетов, когда предполагается, что чем меньше требуется потребителю ресурса, тем выше эффективность его использования;

· конкурсный механизм, когда проводится конкурс заявок на конкретные проекты, и победившие полностью получают требуемый ресурс, а проигравшие не получают ничего;

· открытого управления, идея которого заключается в создании для потребителей стимулов к сообщению в заявке своих реальных потребностей.

Принятие решений в оперативном планировании на основе

сетевых графиков применяется широко уже давно, однако в России не получило большого распространения.

Планирование — это процесс обработки информации по обоснова­нию предстоящих действий, определение наилучших способов достижения целей. При планировании формируются управленческие решения по опре­делению будущих событий. Соответственно план можно определить как проект решений.

Оперативное планирование представляет собой осуществление теку­щей деятельности планово-экономических служб в течение короткого периода, например разработку годовой производственной программы, составление квартальных бюджетов организации, контроль и корректи­ровку полученных результатов и т.п.

В настоящее время имеются отработанные методы решения ряда типо­вых задач по оперативному планированию производства, для которых могут быть применены формализованные методы.

1. Задачи планирования производственной программы. Их суть
заключается в определении требуемых мощностей производства и темпов
их прироста по данным об объемах работ, выполняемых собственными
силами, определении сбалансированности работ, величин заделов, распределении работ по исполнителям.

2. Задачи планирования товарной продукции, состоящие в опреде­лении объемов работ по договорам на текущий и последующий периоды.

3. Задачи планирования технического развития и повышения эффективности производства, заключающиеся в расчете общего сокраще­ния трудовых затрат, снижении себестоимости, росте экономического
эффекта.

4. Задачи планирования труда и заработной платы, включающие рас­чет производительности труда, численности работников, плановой выра­ботки на одного рабочего, плановых фондов заработной платы.

5. Задачи планирования механизации и материально-технического
производства, производственной программы по монтажу и демонтажу
машин, потребности по видам машин.

6. Задачи анализа производственно-хозяйственной деятельности,
в которых определяется степень неравномерности производства, анализируются временные ресурсные и трудовые потери, экономическая эффективность различных технических мероприятий.

Для оперативного планирования и управления производством часто применяют сетевое планирование.

Впервые сетевые методы планирования и управления были апробированы в 1958 г. С тех пор они широко используются в строительстве, проектировании, подготовке новых производств, выпуске первых образцов новой сложной продукции, научно-исследовательских работах и т.п. Сетевые методы наиболее эффективно применяются при планировании взаимоувязанного комплекса сложных работ, выполняемых впервые. Сетевые методы позволяют не только составить эффективный план, но также контролировать и оперативно управлять выполнением комплекса работ.

Основой сетевых методов планирования является сетевой график. Под последним принято понимать графическое изображение определенного комплекса выполняемых работ, отражающее их логическую последовательность, существующую взаимосвязь и планируемую продолжительности и обеспечивающее последующую оптимизацию разработанного графим на основе экономико-математических методов и компьютерной техники с целью его использования для текущего управления ходом работ.

Сетевая модель оперирует понятиями «работа», «событие», «путь». Работа — это любой производственный процесс или иное действие приводящее к достижению определенных результатов событий. Работа обозначается стрелкой (вектором) без масштаба, указывающей направление слева направо от меньшего номера события к большему, и кодируется номерами этих событий. Работы могут быть трех видов:

· действительная, т.е. производственный процесс, требующий затрат труда, времени и ресурсов;

· ожидание — работа, не требующая затрат труда и ресурсов

но занимающая время, необходимое для того, чтобы действительную работу можно будет считать завершенной, т.е. можно будет приступать к выполнению последующей работы;

· зависимость, или фиктивная работа, означающая логическую

(технологическую) связь между двумя или несколькими событиями и указывающая, что возможность начала одной работы зависит от окончания другой. Фиктивная работа не требует ни затрат труда, ни времени, ни ресурсов; она обозначается в сетевом графике пунктирными стрелками. Событие означает факт окончания одной или нескольких работ, необ­ходимых и достаточных для начала последующих. События бывают началь­ными и исходными, конечными или завершающими, простыми или слож­ными, а также промежуточными, предшествующими или последующими.

Применяют три способа изображения событий и работ в сетевых моделях: вершины-работы, вершины-события и смешанные сети. В сетях типа «вершины-работы» все процессы или действия представлены в виде следующих один за другим прямоугольников, связанных логическими зави­симостями (рис. 20).

А, Б и т.д. работы

Рис. 20. Сеть типа «вершины-работы»

0,1 и т.д. события

Рис. 21. Сеть типа «вершины-события»

Во всех сетевых моделях важным показателем служит путь, опре­деляющий последовательность работ или событий. При этом конечный процесс, или результат, одной стадии совпадает с начальным показателем следующей за ней другой фазы.

В любом графике принято различать несколько путей:

· полный путь от исходного до завершающего события; путь,

предшествующий данному событию от начального;

· путь, следующий за данным событием до завершающего;

· путь между несколькими событиями;

· критический путь от исходного до конечного события, равный

максимальной продолжительности выполнения работы.

Сетевые модели весьма разнообразны как по организационной структуре производственной системы, так и по назначению сетевых графиков. По организационной структуре различают внутриорганизационные, или отраслевые, модели сетевого планирования, по назначению — единичного и постоянного действия. Сетевые модели бывают детерминированными, вероятностными и смешанными. В детерминированных сетевых графи­ках все работы стратегического проекта, их продолжительность и взаимо­связь, а также требования к ожидаемым результатам являются заранее определенными. В вероятностных моделях многие процессы носят случайный характер. В смешанных сетях одна часть работ является определенной, а другая — неопределенной. Модели могут быть также одноцелевыми и многоцелевыми.

Важнейшими этапами сетевого планирования являются следующие.

1. Расчленение комплекса работ на отдельные части и их закрепление за ответственными исполнителями.

2. Выявление и описание каждым исполнителем всех событий и работ,
необходимых для достижения поставленной цели.

3. Построение первичных сетевых графиков и уточнение содержа­ния планируемых работ.

4. Сшивание частных сетей и построение сводного сетевого графика выполнения комплекса работ.

5. Обоснование или уточнение времени выполнения каждой работы
в сетевом графике.

Расчленение комплекса планируемых работ производится руководителем проекта. В ходе сетевого планирования применяются два способа распределения выполняемых работ: горизонтальным разделением функций между исполнителями и вертикальным построением схемы уровней руководства проектом. В первом случае простая система или объект подразделяются на отдельные процессы, части или элементы, для чего может быть построен укрупненный сетевой график. Затем каждый процесс делится на операции, приемы и другие расчетные действия. На каждую составляющую комплекса работ создается собственный сетевой график. Во втором случае сложный проектируемый объект делится на отдельные части построением иерархической структуры уровней управления проектом.

Первичные сетевые модели, строящиеся на уровне ответственных исполнителей, должны быть детализированными до такой степени рас­членения, чтобы в них можно было отразить как всю совокупность выполняемых работ, так и все существующие взаимосвязи между отдельными работами и событиями. Вначале необходимо выявить, какими событиями будет характеризоваться порученный ответственному исполнителю данный комплекс работ. Все события и работы, входящие в заданный комплекс, рекомендуется перечислять в порядке их выполнения.

При построении сетевых моделей типа «вершины-события» необходимо соблюдать следующие правила:

· ни одна из работ не должна иметь одинакового кода с другой;

· в сетевой модели не должно быть тупиков, т.е. событий, из кото­рых не

выходит ни одной работы, если эти события не являются заверша­ющими для данной сетевой модели и хвостов, т.е. событий, в которые не входит ни одна работа, если эти события не являются исходными для данной сетевой модели;

· в сетевой модели не должно быть начальных событий более одно­го, так

как это свидетельствует о невозможности его осуществления;

· в сетевой модели не должно быть замкнутых контуров (циклов),

т.е. цепочки работ, возвращающейся к тому событию, из которого она вышла.
Наличие такого цикла в сети свидетельствует об ошибке в исходных дан­ных или о неправильном изображении взаимосвязи работ;

· в сетевой модели не допускается изображение связи между смеж­ными

событиями двумя или большим количеством работ.

После составления и проверки первичных сетевых графиков, разра­батываемых каждым исполнителем для своего комплекса работ, произво­дится сшивание частных сетей и их объединение в сводную модель.

Построенная с использованием приведенных правил сводная сетевая модель будет обеспечивать достижение поставленных перед исполните­лями плановых целей.

Завершающим этапом сетевого планирования является определение продолжительности выполнения отдельных работ или совокупных про­цессов. В детерминированных моделях длительность работ считается не­изменной. В реальных условиях время выполнения разнообразных работ зависит от большого числа внутренних и внешних факторов и поэтому считается случайной величиной. Для установления длительности любых работ необходимо в первую очередь пользоваться соответствующими нор­мативами или нормами трудовых затрат. А при отсутствии исходных нормативных данных продолжительность всех процессов и работ может быть установлена различными методами, в том числе и с применением экспертных оценок.

Для определения продолжительности работ, содержащихся в сетевых моделях, могут быть использованы следующие методы:

· по действующим нормам, с помощью которых можно достаточно

строго обосновать длительность трудовых, технологических и производ­ственных процессов;

· по достигнутой производительности труда, позволяющей устано­вить

продолжительность ранее выполнявшихся работ на различных типах
технологического оборудования;

· по экспертным оценкам, которые обычно применяются для

определения продолжительности впервые проектируемых работ.

В процессе сетевого планирования экспертные оценки длительности предстоящих работ обычно устанавливаются ответственными исполнителями. По каждой работе дается несколько оценок времени: минимальная, максимальная и наиболее вероятная. Если определять продолжительность работ только по одной оценке времени, то она может оказаться далекой от реальности и привести к нарушению всего хода работ по сетевому гра­фику. Оценка продолжительности работ выражается в человеко-часах, чело­веко-днях или других единицах времени. Полученная наиболее вероятная оценка времени не может быть принята в качестве нормативного показателя ожидаемого времени выполнения каждой работы, так как в большинстве случаев она является субъективной и во многом зависит от опыта ответ­ственного исполнителя работ. Поэтому для определения ожидаемого времени выполнения каждой работы экспертные оценки подвергаются статистиче­ской обработке. При допущении, что вероятность продолжительности любой работы соответствует закону нормального распределения рассчитывается ожида­емое время ее выполнения. Рассчитанные средние значения продолжительности ожидаемого вре­мени выполнения работ отражаются на сетевом графике. На их основе производится расчет других параметров сетевого графика, в том числе планируемые стоимостные и временные показатели выполнения отдельных процессов, и всего комплекса работ. Каждая предусмотренная в сетевом графике работа требует на свое осуществление определенных затрат рабочего времени, материальных, трудовых, финансовых и других производственных ресурсов. Планирование потребности различных ресурсов в сетевых моделях сводится в основном к разработке календарного плана поставки ресурсов. Всякий календарный план, соответствующий условиям сетевой модели и ресурсным ограничениям, является допустимым. Наи­лучший по выбранному критерию сравнения допустимый план можно считать оптимальным. В зависимости от выбранного критерия оптимальности и имеющихся ограничений ресурсов задачу их рационального распреде­ления можно свести к минимизации отклонения от заданных сетевой моделью сроков выполнения проектных работ при соблюдении существу­ющих ограничений по использованию производственных ресурсов.

Следовательно, к основным планируемым параметрам в сетевых моде­лях относятся следующие показатели: продолжительность выполнения работ, критический путь, резервы времени свершения событий.

Для каждого события устанавливаются:

· ранний срок наступления события (как наиболее ран­ний из

возможных сроков наступления события в рамках заданной про­должительности работ).

Расчет ранних сроков выполнения событий ведется от исходного до завершающего.

· поздний срок наступления события (наиболее поздний

из возможных сроков наступления события, не срывающих сроки выпол­нения последующих работ). Поздний срок свершения событий определя­ется разностью между продолжительностью критического пути и макси­мальной длительностью следующего за данным событием пути к завершающему.

Ранний срок равен продолжительности максимального из пред­шествующих данному событию путей, а поздний срок составляет раз­ность между продолжительностью критического пути и длительностью максимального из последующих за данным событием путей до завершаю­щего.

Кроме того, для каждой работы определяются раннее и позднее вре­мя окончания работы и резерв времени.

Резерв времени выполнения события — это такой промежуток време­ни, на который может быть отсрочено свершение этого события без нару­шения планируемых сетевым графиком сроков окончания проектных работ. Резерв времени свершения каждого события определяется разностью меж­ду поздним и ранним сроками выполнения этого события:

Разница между длиной критического пути и любого другого пути называется полным резервом времени.

Полный резерв пути показывает, на сколько в сумме может быть уве­личена продолжительность всех работ, принадлежащих данному пути.

Важным плановым свойством полного резерва времени является тот факт, что его можно использовать частично или полностью для увеличе­ния длительности выполнения какой-либо работы. При этом, естественно, уменьшается резерв времени всех остальных работ, лежащих на этом пути, поскольку полный резерв времени принадлежит всем работам, находя­щимся на данном пути.

Выполненные расчеты основных параметров сетевых моделей долж­ны быть использованы при анализе и оптимизации сетевых стратегиче­ских планов. Комплексная оптимизация сетевых моделей состоит в нахож­дении наилучших соотношений показателей затрат ресурсов и сроков выполнения планируемых работ применительно к определенным производственным условиям и ограничениям. В рыночных отношениях в качестве критерия оптимальности сетевых систем планирования могут быть выбраны показатели максимальной прибыли (дохода) от производства товаров и услуг, минимального расхода ресурсов на реализацию планов, максимальной производительности труда исполнителей, минимальных затрат рабочего времени на достижение конечной цели и т.д.

Рассмотрим оптимизацию сетевых моделей по критерию минимиза­ции затрат времени на выполнение отдельных процессов и всего комплекса работ. Общий срок свершения всех работ в сетевой модели следует сокращать в первую очередь за счет уменьшения критического пути. Этот прием основан на анализе временных показателей графика и не требует больших затрат материальных и финансовых ресурсов. Анализ сети проводится с целью выравнивания продолжительности наиболее напряженных путей. В общем виде коэффициент напряженности любого полного пути определяется отношением его длительности к критическому пути.

Далее рассмотрим способы оптимизации сетевых моделей за счет мини­мизации расходования материальных ресурсов. Задачи планирования различных производственных ресурсов можно свести к определению оптимальных норм их расхода на единицу выполненной работы или распределению имеющихся ресурсов на весь комплекс работ. Одним из возможных способов сокращения критического пути может служить перераспределение различных ресурсов с ненапряженных путей на выполнение критических работ. При этом следует также иметь в виду тот факт, что сверхплановое насыщение критических работ ресурсами небеспредельно, ибо существуют определенные ограничения в ресурсах в каждой организации.

Важнейшей комплексной проблемой оптимизации сетевых моделей является минимизация стоимости, которая характеризует наименьшие

суммарные издержки на осуществление всего комплекса запланирован­ных работ. При этом методе исходят из предположения, что величина издержек на выполнение работы находится при прочих равных условиях в обратной зависимости от затрат рабочего времени на ее выполнение. Если все запланированные работы будут выполняться с рассчитанной в сетевом графике точностью, то общая стоимость разработанного плана-проекта будет минимальной. С ускорением работ затраты возрастают, а с их замедлением — снижаются.

В практике сетевого планирования при необходимости можно также осуществить комплексный анализ ресурсной, экономической и финансовой реализуемости разработанных стратегических и тактиче­ских планов.

Анализ ресурсной реализуемости выполняется в два этапа. На пер­вом — устанавливается наличие ресурсов по всем работам, на втором — разрабатываются способы их рационального использования.

Экономическая и финансовая реализуемость сетевых моделей тесно связаны между собой. Анализ экономической реализуемости проектных работ необходим для обоснования продолжительности их осуществления, при которой может быть достигнут наилучший финансовый результат или совокупный доход от реализации плана-проекта.

Таким образом, основой сетевого планирования служит достоверная планово-экономическая информация или система прогрессивных эконо­мических нормативов, применяемых как на стадии разработки управлен­ческих решений, так и на стадии оперативного управления ходом работ. В задачи оперативного планирования входят: периодический контроль за ходом фактического выполнения работ по сетевой модели; выявле­ние и анализ возникающих изменений и расхождений между запланиро­ванным и фактическим состоянием работ; выработка и принятие планово-управленческих решений, обеспечивающих своевременное выполнение комплекса работ.

Таким образом, основным элементом применения математических

методов является моделирование. В практической деятельности менеджеров чаще всего используются подробно освещенные в литературе модели: аналитические, статистические (вероятностные), имитационные, сетевые, линейного и математического программирования, теории очередей (СМО), запасов и др.

Дата добавления: 2014-01-04