Итерационные методы решения СЛАУ

Напомним, что достоинством итерационных методов является их применимость к плохо обусловленным системам и системам высоких порядков, их самоисправляемость и простота реализации на ЭВМ. Итерационные методы для начала вычисления требуют задания какого-либо начального приближения к искомому решению.

Следует заметить, что условия и скорость сходимости итерационного процесса существенно зависят от свойств матрицы А системы и от выбора начальных приближений.

Для применения метода итераций исходную систему (1) или (2) необходимо привести к виду

(25)

и затем итерационный процесс выполняется по рекуррентным формулам

, k = 0, 1, 2,.... (25*)

Матрица G и вектор получены в результате преобразования системы (1).

Для сходимости (25*) необходимо и достаточно, чтобы |l _i (G)| < 1, где l _i (G) – все собственные значения матрицы G. Сходимость будет также и в случае, если || G || < 1, ибо |l _i (G)| < " || G || (" – любой).

Символ ||... || означает норму матрицы. При определении ее величины чаще всего останавливаются на проверке двух условий:

|| G || = , или || G || = , (26)

где . Сходимость гарантирована также, если исходная матрица А имеет диагональное преобладание, т.е.

. (27)

Если (26) или (27) выполняются, метод итерации сходится при любом начальном приближении . Чаще всего вектор берут или нулевым, или единичным, или сам вектор из (25).

Имеется много подходов к преобразованию исходной системы (2) с матрицей А для обеспечения вида (25) или условий сходимости (26) и (27).

Например, (25) можно получить следующим образом.

Пусть А = В + С, det В ¹ 0;

тогда (B + С) = Þ B = − C + Þ B ^–1 B = − B ^–1 C + B ^–1 ,

откуда = − B ^–1 C + B ^–1 .

Положив – B ^–1 C = G, B ^–1 = и получим (25).

Из условий сходимости (26) и (27) видно, что представление А = В + С не может быть произвольным.

Если матрица А удовлетворяет требованиям (27), то в качестве матрицы В можно выбрать нижнюю треугольную

, a_ii ¹ 0.

Или

; Þ ; Þ ; Þ

.

Подбирая параметр a можно добиться, чтобы || G || = || E + a A || < 1.

Если имеет место преобладание (27), тогда преобразование к (25) можно осуществить просто, решая каждое i -е уравнение системы (1) относительно x_i по следующим рекуррентным формулам:

g_ij = − a_ij / a_ii; g_ii = 0; f_i = b_i / a_ii, (27*)

т.е. .

Если же в матрице А нет диагонального преобладания, его нужно добиться посредством каких-либо ее линейных преобразований, не нарушающих их равносильности.

Для примера рассмотрим систему

(28)

Как видно в уравнениях (I) и (II) нет диагонального преобладания, а в (III) есть, поэтому его оставляем неизменным.

Добьемся диагонального преобладания в уравнении (I). Умножим (I) на a, (II) на b, сложим оба уравнения и в полученном уравнении выберем a и b так, чтобы имело место диагональное преобладание:

(2a + 3b) х ₁ + (–1,8a + 2b) х ₂ +(0,4a – 1,1b) х ₃ = a.

Взяв a = b = 5, получим 25 х ₁ + х ₂ – 3,5 х ₃ = 5.

Для преобразования второго уравнения (II) с преобладанием, (I) умножим на g, (II) умножим на d, и из (II) вычтем (I). Получим

(3d – 2g) х ₁ + (2d + 1,8g) х ₂ +(–1,1d – 0,4g) х ₃ = −g.

Положим d = 2, g = 3, получим 0 х ₁ + 9,4 х ₂ – 3,4 х ₃ = −3. В результате получим систему:

(29)

Такой прием можно применять для широкого класса матриц.

Далее разделим в (29) каждое уравнение на диагональный элемент, получим

или

Взяв в качестве начального приближения, например, вектор = (0,2; –0,32; 0)^Т. Будем решать эту систему по технологии (25*):

k = 0, 1, 2,...

Процесс вычисления прекращается, когда два соседних приближения вектора решения совпадают по точности, т.е.

.

Дата добавления: 2014-01-04