Постановка задачи. Применение метода итераций для уточнения элементов обратной матрицы

Применение метода итераций для уточнения элементов обратной матрицы

Точность получения элементов обратной матрицы естественно оценивается соотношением

А ^–1× А = А ⁰ = Е.

Однако в общем случае элементы обратной матрицы получаются с некоторой погрешностью, которая появляется в результате округлений в процессе вычисления и большого числа арифметических операций. Для уменьшения погрешностей используется итерационная схема уточнения элементов обратной матрицы.

Пусть для неособенной матрицы А получено приближенное значение элементов матрицы А ^–1. Обозначим ее через D ₀» A ^–1. Тогда для уточнения элементов обратной матрицы строится следующий итерационный процесс:

F_{k –1} = E – AD_{k –1}, k =1,2,3…; (*)

D_k = D_{k –1}(E + F_{k –1}); k = 1,2,3… (**)

Доказано, что итерации сходятся, если начальная матрица D ₀ достаточно близка к искомой А ^–1.

В данной итерационной схеме матрица F на каждом шаге как бы оценивает близость матрицы D к А ^–1.

Схема работает следующим образом.

Сначала по (*) при k = 1 находится F ₀ = E – AD ₀, затем находится произведение D ₀ F ₀.

По итерации (**) при k = 1 находится D ₁ = D ₀ + D ₀ F ₀.

Чтобы проверить, достигнута ли желаемая точность, вычисляется AD ₁, а по (*) при k = 2, вычисляется F ₁ = E – AD ₁ и, если наибольший элемент матрицы F ₁ < e, итерации прекращаются и A^–1» D ₁.

Раздел 3. Численное решение нелинейных уравнений

Одной из важных практических задач при исследовании различных свойств математической модели в виде функциональной зависимости y = f (x) является нахождение значений x, при которых эта функция обращается в ноль, т.е. решение уравнения

f (x) = 0. (1)

Как правило, точное решение его можно получить только в исключительных случаях, так как оно в большинстве случаев носит нелинейный характер. Нелинейные уравнения делятся на два класса:

1) алгебраические, содержащие только алгебраические выражения;

2) трансцендентные, содержащие и другие функции (тригонометрические, показательные, логарифмические и др.).

Методы решения нелинейных уравнений делятся на прямые и итерационные методы.

Прямые методы позволяют записать корни в виде некоторых конечных соотношений (формул) для простых тригонометрических, логарифмических, показательных и простейших алгебраических уравнений.

Однако подавляющее число практически значимых уравнений могут быть решено только итерационными методами, т.е. методами последовательных приближений (численными методами).

Решение уравнений (1) при этом осуществляется в два этапа:

1) определение местоположения, характера интересующего нас корня и выбор его начального значения;

2) вычисление корня с заданной точностью e, посредством выбранного какого-либо вычислительного алгоритма.

На первом этапе вначале определяют, какие корни требуется найти, например, только действительные или только положительные или наименьший корень и т.д. Затем находят отрезки из области определения функции y = f (x), взятой из (1), содержащие по одному корню.

Имеются различные подходы к решению данной задачи для обоих видов нелинейных уравнений.

На втором этапе используются итерационные методы, позволяющие с помощью некоторого рекуррентного соотношения

(2)

при выбранном начальном приближении к x ^* построить последовательность (x_n).

Как правило, всегда стоит задача обеспечения сходимости последовательности (2) к истинному значению корня x ^*. Сходимость достигается посредством выбора различными способами функций j в (2), которая зависит от f (x) и в общем случае от номера последовательности решений (n). При этом если при нахождении значения x_n» x^k » x ^*, используется одно предыдущее значение m =1, то такой метод называется одношаговым. Если используется m предыдущих значений, то метод называется m -шаговым и, как правило, с увеличением m вычислительные алгоритмы усложняются.

Расчет по рекуррентной последовательности продолжается до тех пор, пока | x_n – x_{n –1}| < e. Тогда последнее x_n выбирается в качестве приближенного значения корня (x ^* » x_n).

На практике имеется большой выбор законов j, что обеспечивает многообразие численных итерационных методов решения нелинейных уравнений.

Дата добавления: 2014-01-04