Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Составные квадратурные формулы с переменным шагом

 

Проиллюстрируем решение данной проблемы на примере квадратурной формулы прямоугольников.

Пусть f (x) Î C 2[ a, b ] с дополнительным ограничением: f "(x) – монотонная знакоопределенная функция на [ a, b ]. Для определенности возьмем f "(x) – монотонно убывающую положительную функцию.

Положим x 0 = a. Определим наибольшее значение x 1 из условия (23), т.е. чтобы погрешность для

; · f "(x) = e; ; (30)

не превышала заданной величины e. Очевидно, что для этого достаточно решить (24) относительно x 1.

Имеем x 1 = .

Следующие интервалы определяются аналогично.

Из рисунка видно, что длина последующих интервалов будет возрастать. Общая формула их определения такова:

xi +1 = ; 0 £ i £ k. (31)

Количество интервалов k неизвестно, т.к. оно определяется как точностью e, так и поведением f "(x) на интервале [ a, b ]. Однако верхняя оценка для k может быть легко определена по длине наименьшего частичного интервала:

k £ .

Суммируя (30) получим составную квадратурную формулу прямоугольников с переменным шагом:

;

где xi определяется рекуррентно формулами (31). Для погрешности R имеет место оценка | R | £ k e.

В общем случае для произвольной функции f (x), если f "(x) – монотонно возрастающая положительная функция, то частичные интервалы определяются справа налево, т.е. от b к a. Для отрицательной производной f "(x) и монотонно возрастающей – слева направо от a к b, для убывающей – справа налево от b к a.

В качестве иллюстрации рассмотрим интегрирование f (x) = e x /s, s = 10–2 с точностью e = 10–4 на каждом частичном интервале, принадлежащем отрезку [0;1]. По (31) определим границы интервалов:

x 0 = 0,0000; x 1 = 0,0062; x 2 = 0,0138; x 3 = 0,0237; x 4 = 0,0374;

x 5 = 0,0590; x 6 = 0,1030; x 7 = 0,2990; x 8 = 1,0000.

Общая погрешность имеет оценку R £ 8×10–4. Такую погрешность посредством формулы прямоугольников с h = const можно получить, если выбирать шаг h на всем интервале из условия = R, на 721-м частичном интервале:

K = .

В общем случае, если f "(x) на всем интервале [ a, b ] не удовлетворяет принятому дополнительному ограничению, то

– сначала следует интервал [ a, b ] разбить на частичные интервалы, на которых f "(x) монотонна и знакоопределена;

– затем на каждом из них построить составную квадратурную формулу с переменным шагом по приведенным выше формулам.

 

Аналогичные рассуждения имеют место и для формулы Симпсона с соблюдением монотонности f IV (x).

Однако следует заметить, что переход к переменному шагу h не всегда оправдан из-за необходимости вычислять f "(x) и определять ее монотонность и знакоопределенность. Это бывает оправданным только при серийных расчетах.

 

 

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Другие оценки погрешности | Постановка задачи. Квадратурные формулы наивысшей алгебраической точности (формула Гаусса)
Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 310; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.012 сек.