Численные методы решения задачи Коши

Задача Коши для ОДУ

В зависимости от вида ДУ (1) задача Коши формируется следующим образом.

1. Если n = 1, то требуется найти Y = Y (x), удовлетворяющую уравнению:

(4)

и принимающую при x = x ₀ заданное значение Y ₀:

Y (x ₀) = Y ₀. (5)

Для определенности будем считать, что решение нужно получить для значений x > x ₀. В качестве начального значения может быть произвольное x, но чаще всего принимают x ₀ = 0, что не влияет на разработку численного метода для (4). Заметим, что все численные методы разработаны для решения ОДУ именно первого порядка.

2. Задача Коши для ОДУ n -го порядка

; (6)

найти Y = Y (x), удовлетворяющую (6) и начальным условиям

, , …, ; (7)

где – есть заданные числа.

3. Задача Коши для системы ДУ:

(8)

Задача Коши для системы (8) заключается в отыскании Y_i (x) (), удовлетворяющих (8) и начальным условиям:

; ; …; . (9)

Численные методы для решения ОДУ (4) и (5) применяются и для решения (8) и (9).

Дифференциальное уравнение n -го порядка (6) может быть приведено к системе (8) путем введения новых неизвестных функций Y_i (x),:

,, …,. (10)

Тогда (6) запишется следующим образом

Если удается найти общее решение для (4), (6), или системы (8), то задача Коши сводится к отысканию значений произвольных постоянных. Как правило, она решается приближенно.

Для решения задачи Коши (4) и (5) по технологии разностных методов введем последовательность точек x ₀, x ₁,..., x_n и шаги h_i = x_{i +1} – x_i (i = 0,1,..., n –1). В каждом узле x_i вместо значений функции Y (x_i) вводятся числа y_i, как результат аппроксимации точного решения Y (x) на данном множестве точек. Функцию y, заданную в виде таблицы { x_i, y_i } называют сеточной функцией. Заменяя значение производной в уравнении (4) отношением конечных разностей осуществляем переход от дифференциальной задачи (4), (5) относительно функции Y (x) к разностной задаче относительно сеточной функции

; (11)

y ₀ = Y ₀ . (12)

Это разностное уравнение в общем виде, а конкретное выражение правой части для (11) зависит от способа аппроксимации производной. Для каждого численного метода получается свой вид уравнения (11).

Если в правой части уравнения (11) отсутствует y_{i +1}, т.е. значение y_{i +1} вычисляется по k предыдущим значениям y_i, y_{i –1},..., y_{i – k +1},, то разностная схема называется явной. При этом имеет место k -шаговый метод: k = 1 – одношаговый, k =2 – двухшаговый и т.д., т.е. в одношаговых методах для вычисления y_{i +1} используется лишь одно найденное значение на предыдущем шаге y_i, в многошаговом – многие из них.

Если y_{i +1} входит в правую часть (11), то это будут неявные методы, реализация которых носит только итерационный характер.

Дата добавления: 2014-01-04