Введение. И автоматизации промышленных установок

СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

И автоматизации промышленных установок

Конспект лекций

(для бакалавров всех форм обучения специальности 050718 – Электроэнергетика)

Алматы 2006

СОСТАВИТЕЛИ: П.И. Сагитов, Ю.А. Цыба. Системы автоматического управления. Конспект лекций (для студентов всех форм обучения специальности 050718 – Электроэнергетика). – Алматы: АИЭС, 2006. – 70с.

Конспект лекций по курсу «Системы автоматического управления» разработан в соответствии с рабочей учебной программой и рассчитан на 26 часов для бакалавров специальности 050700 – Электроэнергетика. Рассмотрены вопросы теории и расчета линейных систем автоматического управления. Приведены основные характеристики типовых элементов, методы исследования устойчивости и анализа качества систем. Даются примеры расчетов.

Конспект лекций предназначен для бакалавров дневной и заочной форм обучения специальностей электроэнергетического направления, а также может быть использован инженерно-техническими работниками, занимающимися вопросами автоматики.

Ил. 31, библиогр. – 5 назв.

Рецензент: канд. техн. наук, проф. М.А. Мустафин.

Печатается по плану издания Алматинского института энергетики

и связи на 2006г.

Ó Алматинский институт энергетики и связи, 2006г.

Содержание

Введение…………………………………………………………………………
Лекция №1 Функциональные схемы систем автоматического управления…
Лекция №2Основные типовые звенья систем автоматического управления...
Лекция №3 Структурные схемы систем автоматического управления……..
Лекция №4 Преобразования структурных схем САУ…………………………
Лекция №5 Преобразование Лапласа в применении к теории автоматического регулирования………………………………….
Лекция №6 Статическое и астатическое регулирование………………….
Лекция №7 Уравнения и частотные характеристики систем автоматического управления……………………………………………………………
Лекция №8 Устойчивость систем автоматического управления……………….
Лекция №9 Частотные критерии устойчивости САУ…………………………..
Лекция №10Переходные процессы в системах автоматического управления.
Лекция №11 Расчет систем автоматического управления по методу логарифмических частотных характеристик……………………
Лекция №12Построение амплитудных и фазовых логарифмических характеристик системы, логарифмический критерий устойчивости
Лекция №13Нелинейные системы автоматического управления……………
Список литературы………………………………………………………………
Приложение АПримеры решения задач по разделам курса САУ……………..

Известно, что при помощи автоматических управляющих устройств можно: существенно повысить эффективность ведения технологических процессов; создать условия для применения сверхвысоких и сверхнизких параметров (напряжений, скоростей, давлений, температур, частот и т.п.); освободить обслуживающий персонал от непосредственного участия в осуществлении управления сложными процессами; сократить количество обслуживающего персонала на том или ином объекте; повысить качество выпускаемой продукции, обеспечив высокие точности исполнения всех требований, предъявляемых к ходу и результатам технологических процессов и, наконец, получить возможность вести требуемый процесс в условиях и местах недоступных для человека. При этом особое значение автоматика приобретает в современных электроэнергетических установках.

Следовательно, средства автоматики поднимают любой технологический процесс на новую, более высокую ступень совершенства. Вместе с тем эксплуатация автоматизированного устройства, его наладка, регулировка требуют от обслуживающего персонала высокой технической квалификации.

Таким образом, широкое внедрение автоматизации во все сферы человеческой деятельности, а также бурное развитие кибернетики требуют от современных специалистов различных профилей определенных знаний в данной области.

Одной из основ автоматики и кибернетики является теория автоматического управления. Поэтому возникает все большая необходимость изучать основные положения теории автоматического регулирования и управления.

В данном конспекте лекций рассматриваются основы теории и расчета свободных и вынужденных движений координат линейных систем автоматического регулирования и управления. Приведены характеристики основных типовых элементов. Приводятся алгебраические и частотные методы, а также метод корневого годографа исследования устойчивости систем; методы анализа качества и синтеза корректирующих устройств систем, а также даётся общее представление о нелинейных системах.

Математический аппарат, используемый в учебном пособии, обычен для таких курсов, как частотные методы, базирующиеся на преобразовании Фурье и преобразованиях Лапласа - обычном и дискретном. В небольшом объеме используются другие математические понятия из теории вероятности, интегральных и дифференциальных уравнений [1, 2, 3, 4, 5].

Лекция №1. Функциональные схемы систем автоматического управления

Содержание лекции:

- основные определения и понятия о системах автоматического управления (САУ) и регулирования (САР);

- основные, функциональные элементы САУ;

- принципы построения систем автоматического управления (САУ).

Цели лекции:

- изучить основные, функциональные элементы САУ;

- научить разделять САУ на функциональные элементы;

- освоить методы составления функциональных схем САУ.

Любой технологический процесс, протекающий в какой-либо установке, машине, двигателе, т. е. в самых разнообразных объектах, можно характеризовать одним или несколькими показателями процесса. Такими показателями могут быть самые различные физические, химические и другие величины. Такие показатели процесса называют также параметрами процесса (координатами процесса, величинами про­цесса).

Обеспечение всего комплекса возможных операций по управлению объектом без участия обслуживающего персонала выполняется системой автомати­ческого управления ( САУ). Обеспечение же только требуемых значений параме­тров, определяющих желаемый ход технологического процесса в том или ином объекте без участия человека, осуществляется устройством автоматического регулирования.

Параметры объекта, которые подлежат изменению или стабилизации, принято называть регулируемы­ми параметрами, а объект, в котором регулируются такие параметры, называют объектом регулирования.

Сказанное выше можно также сформулировать так: устройства, предназначенные для автоматического под­держания постоянного значения регулируемых параме­тров в разнообразных объектах или изменяющие регулируемые параметры по какому-либо требуемому зако­ну, называют автоматическими регуляторами. Сочетание объекта регулирования с автоматическим регулятором принято называть системой автома­тического регулирования (САР), которая является частным случаем САУ. Любую систему регулирования можно разложить на ряд эле­ментов.

Основные, функциональные элементы САУ. Современные системы автоматического управления (САУ) представ­ляют собой сложные комплексы взаимодействующих техниче­ских устройств и элементов, работа которых основана на раз­личных физических принципах (механических, электрических, гидравлических, пневматических и др.). Различно также их кон­структивное выполнение и технические характеристики.

При изучении данного курса ос­новное внимание уделяется не техническим свойствам отдельных элементов, а функциям, которые они выполняют в системе уп­равления, и характеру связей между ними. Наглядное представ­ление об этом дают функциональные схемы систем автоматиче­ского управления.

Несмотря на многообразие отдельных САУ и входящих в них элементов, последние могут быть сведены к нескольким основным типам, различающимся по их назначению (функции) и взаимодействию в системе управле­ния, что позволяет представить САУ в виде обоб­щенной функциональной схемы (рисунок 1.1). Схе­ма отражает то обстоятельство, что сложная современная авто­матическая система должна выполнять одновременно две зада­чи:

а) обеспечивать с требуемой точностью изменение выходной величины системы в соответствии с поступающей извне входной величиной, играющей роль команды или программы. При этом необходимо преодолевать инерцию объекта управления и других элементов системы, а также компенсировать искажения, возни­кающие вследствие неточного знания характеристик отдельных элементов и нестабильности их параметров. Иногда это называ­ют управлением в узком смысле или слежением;

б) при заданном значении входной величины (заданной программе) система должна, по возможности, нейтрализовать действие внешних воз­мущений, стремящихся отклонить выходную величину системы от предписываемого ей в данный момент значения. В этом смыс­ле говорят о задаче регулирования или стабилизации.

В действительности обе эти задачи решаются совместно и об их разделении можно говорить, лишь условно. Однако в от­дельных конкретных САУ одна из указанных функций может быть выражена более сильно, чем другая. В этих случаях функциональная схема системы может иметь более простой частный вид.

Рисунок 1.1 - Общая функциональная схема САУ

Как видно из схемы (рисунок 1.1), на объект управления ОУ (называемый также объектом регулирования ОР), находящий­ся под влиянием внешнего возмущающего воздействия F, посту­пает регулирующее воздействие х_р, являющееся выходной вели­чиной управляющей части системы (регулятора), которая пред­ставляет собой совокупность обведенных пунктиром элементов, специально введенных для получения замкнутой системы авто­матического управления (регулирования).

Замыкание контура управления производится подачей в ре­гулятор по цепи главной обратной связи ОС_ГЛ управляемой ве­личины, которая в общем случае может отличаться от выходной величины объекта управления, если последняя недоступна для прямого контроля (например, измерение тока якоря электродви­гателя вместо непосредственного контролирования вращающего момента, противо-э.д.с. вместо скорости вращения якоря и т.д.). При этом ошибка системы определяется разно­стью между действительной выходной величиной х_вых и ее «иде­альным» значением х_к%, представляющим собой выход некото­рой воображаемой «идеальной» системы ИС, осуществляющей точное заданное преобразование входной величины. Необходимость введения задающего элемента ЗЭ объясняет­ся тем, что задающее воздействие, непосредственно поступаю­щее на элемент сравнения ЭС, может отличаться от входной ве­личины по двум причинам:

а) эти воздействия могут быть связа­ны друг с другом определенной функциональной зависимостью * или просто различаться масштабом величин;

б) задающее воздействие часто содержит в себе, наряду с полезным входным сигналом, и случайные возмущения или помеху (шум).

Возмущающие воз­действия могут посту­пать на любой элемент системы управления. Учет их зависит от кон­кретной постановки за­дачи. При этом отнесе­ние их к внешним или внутренним возмуще­ниям является весьма условным. Так, напри­мер, колебания напря­жения источников питания в электрических системах в одних случаях могут рассматриваться как внешние возмущения, а в других - вызывать флюктуации внутренних параметров системы.

Рисунок 1.2 - Функциональная схема простейшей системы автоматического регулирования

Сигнал ошибки х_с, представляющий собой разность задаю­щего воздействия х_з и сигнала главной обратной связи х_о.с, в об­щем случае не должен отождествляться с ошибкой ∆х, даже ес­ли выходная величина совпадает с управляемой, а задающее воздействие — с входной величиной. Так, в статической системе при отсутствии возмущающих воздействий и неизменных пара­метрах системы установившаяся ошибка равна нулю, при этом сигнал ошибки должен иметь отличную от нуля величину, необ­ходимую для поддержания заданного значения выходной вели­чины системы.

Усилительный элемент У и исполнительный элемент ИЭ вхо­дят в основной контур системы. Преобразующий элемент ПЭ и элемент местной обратной связи ОС_м вводятся в систему для придания ей лучших динами­ческих свойств, т. е. для коррекции системы, в связи с чем их на­зывают соответственно последовательным и параллельным кор­ректирующими элементами. Их наличие не является обязатель­ным. Однако в этом случае могут быть осуществлены лишь про­стейшие САУ с крайне низкими качественными показателями.

Рисунок 1.3 – Функциональная схема простейшей следящей системы

На рисунке 1.2 и 1.3 изображены соответственно функциональ­ные схемы простейшей замкнутой САР и простейшей следящей системы. Особенностью этих схем является то, что все изображенные на них элементы являются необходимыми. Отсутствие какого-либо из них делает невозможным существование замкнутой системы автоматическо­го управления. В обеих системах предполагается возможность непосредственного контролирования выходной величины (которая совпадает с уп­равляемой или регулиру­емой величиной) и совпа­дение задающего воздей­ствия с входом системы. На практике это имеет место тогда, когда существует твердая уверенность в том, что указанные пары величин связаны между собой жесткой зависи­мостью (обычно пропорциональной).

Особенностью следящих систем, предназначенных для отра­ботки (отслеживания) механических перемещений, является, как правило, высокая точность передачи сигнала по цепи глав­ной обратной связи ОС_ГЛ от выхода системы к элементу срав­нения ЭС. При этом в установившемся режиме выходная величина θ_вых должна с очень малой (по сравнению с переходным режимом) погрешностью совпадать с входной величиной θ_вх*. Вследствие этого элемент главной обратной связи производит передачу сигнала к элементу сравнения с коэффициентом, рав­ным единице, и может быть заменен на функциональной схеме одной линией (рисунок 1.3). При этом ошибка следящей системы θ = θ_вх - θ_вых.

Встречающиеся на практике САУ могут быть представлены функциональными схемами, за­нимающими промежуточное положение между общей схемой, изображенной на рисунке 1.1, и простейшими схемами, приведенными на рисунках 1.2, 1.3.

Умение разделять САУ на функциональные элементы и составлять функциональ­ные схемы в общем виде, способствует ясности представлений о физических процессах, происходящих в системе, и имеет боль­шое значение для дальнейшего исследования и расчета основ­ных режимов работы системы.

Лекция №2. Основные типовые звенья систем автоматического управления

Содержание лекции:

- понятие и определение динамического звена, основные типы динамических звеньев;

- уравнения взаимосвязи между входной и выходной величинами; основных динамических звеньев и их передаточные функции.

Цели лекции:

- изучить принципы построения основных типовых звеньев САУ;

- изучить математическое описание основных типовых звеньев.

Как указывалось выше, для изучения динамических свойств системы целесообразно рассматривать отдельные ее элементы только с точки зрения их динамических свойств независимо от их конкретного исполнения.

Для того чтобы можно было рассматривать общие свойства элементов системы и знать различие между ними, очевидно, необходимо воздействовать на них одно­типными возмущениями.

Одним из таких типовых возмущений принято счи­тать единичную ступенчатую (толчкообразную) функ­цию. Тогда в зависимости от вида возникающего в эле­менте переходного процесса можно относить этот эле­мент к тому или иному типу. Такое различение элементов по динамическим характеристикам приводит к понятию динамического звена или просто звена. Дина­мическим звеном называют часть системы, описываемую тем или иным уравнением, вид которого в общем слу­чае может быть любым. Однако уравнение сложного звена представляется возможным изобразить в виде той или иной совокупности более простых уравнений; число видов таких элементарных уравнений невелико. Следо­вательно, сложное звено можно разложить на несколько наиболее простые элементарные типовые звенья.

При таком рассмотрении все разнообразие суще­ствующих линейных элементов удается характеризовать небольшим числом типовых звеньев или их комбинаций. Обычно различают следующие типы звеньев: а) безынерционное; б) инерционное; в) колебательное; г) интегрирующее; д) дифференцирующее; е) интегро-дифференцирующее; ж) запаздывающее.

Иногда в литературе встречаются и несколько отлич­ные от указанных типы и наименования звеньев.

Безынерционное звено. Звено принято называть безынерционным, если связь между входом и выходом звена определяется алгебраи­ческим уравнением

, (2.1)

где k - коэффициент усиления звена;

x_ВХ, х_ВЫХ- соответственно входная и выходная его вели­чины.

Это звено иногда называют также усилительным или безъемкостным.

Очевидно, что характер изменения во времени вы­ходной величины при подаче на вход возмущения, рав­ного х_ВХ = const = A[1], будет определяться уравнением (2.1), т. е. х_ВЫХ = kx_ВЫХ. Примером конструктивного выполнения такого звена могут служить: электронная усилительная лампа; рычажное сочленение; механический редуктор, и др.

Передаточная функция безынерционного звена может быть из (2.1) записана как отношение выходной вели­чины к входной в следующем виде

.

Инерционное звено. Звено называется инерционным, если связь между входом и выходом звена определяется дифференциаль­ным уравнением вида

, (2.2)

где Т- постоянная времени звена;

k - коэффициент усиления звена;

x_ВЫХ, х_ВХ - соответственно выходная и входная величины звена.

Такое звено также называют апериодическим, стати­ческим, одноемкостным, релаксационным.

В качестве примеров конструктивного выполнения подобного звена можно назвать ряд устройств. Так, сюда можно отнести пассивный четырехполюсник, состоящий из емкости и омического сопротивления или из индуктив­ности и омического сопротивления, термопару, магнит­ный усилитель, электрический двигатель (если вход - напряжение, а выход - угловая скорость) и т. д.

Передаточная функция инерционного звена может быть записана в следующем виде

. (2.3)

Колебательное звено. Звено называют колебательным, если связь между входной и выходной величинами звена определяется уравнением вида

или (2.4)

и при этом соблюдается условие

.

Иногда встречается другая форма уравнений

. (2.5)

В этих уравнениях Т₁ - постоянная времени звена, равная 1/ω₀;

Т₂ - постоянная времени звена, равная 2ζ/ω₀; k - коэффициент усиления зве­на, равный отношению уста­новившихся значений вы­ходной и входной величин; ζ =T₂/2T_{1 -}- постоянная затухания звена (степень успокоения); ω₀-собственная частота незату­хающих колебаний звена.

Если ζ = 0, то колебания звена будут незатухающи­ми - звено будет колебаться с частотой ω₀, чем и объяс­няется термин «собственная частота». Такое звено иног­да называют консервативным. Колебательное звено получается при наличии в звене двух емкостей, способных запасать энергию двух видов и взаимно обмениваться этими запасами. При этом обычно одна емкость запасает кинетическую энергию, а другая потенциальную и процесс обмена запасами энергии со­провождается переходом одного вида энергии в другой и наоборот. Если в процессе колебаний запас энергии в звене, по­лученный в начале возмущения, уменьшается, то колеба­ния затухают и звено является устойчивым колебатель­ным звеном.

Примером конструктивного выполнения устойчивого колебательного звена могут служить: конический центро­бежный тахометр; электрический контур, содержащий емкость, индуктивность и омическое сопротивление; мас­са, подвешенная на пружине и имеющая успокоительное устройство.

Передаточная функция колебательного звена, может быть записана так

. (2.6)

Интегрирующее звено. Звено называют интегрирующим, если его выходная величина пропорциональна интегралу по времени от ве­личины, подаваемой на вход, и определяется уравнением вида

(2.7)

или в другой часто встречающейся форме

, (2.8)

где является отношением скорости измене­ния выходной величины к входной величине.

Обозначения в (2.7) аналогичны приведенным для других звеньев.

Проинтегрировав почленно (2.7) и (2.8), получим

или ,

что и дает основание называть такое звено интегрирую­щим. Кроме того, такое звено называют астатическим или нейтральным.

Примерами конст­руктивного выполне­ния интегрирующего звена могут служить: поршневой гидравли­ческий исполнительный двигатель, у которого массой и силами трения можно пренебречь и у которого входом является количество жидкости подаваемой в цилиндр, а выходом - перемещение поршня; электрический дви­гатель, у которого можно пренебречь электромеханиче­ской постоянной времени и механической постоянной времени ротора и у которого входом считается напряже­ние питания, а выходом - угол поворота вала ротора; идеализированный интегрирующий контур с емкостью и тому подобные устройства.

Передаточная функция интегрирующего звена, полу­чаемая из уравнения (2.7), может быть записана так

. (2.8)

Дифференцирующие звенья. Различают идеальное и реальное дифференцирующие звенья. Идеальное дифференцирующее звено характеризует­ся уравнением

. (2.9)

Следовательно, в таком звене выходная величина про­порциональна скорости изменения входной величины, такое звено называется идеальным.

Однако практически осуществить идеальное звено, строго удовлетворяю­щее уравнению (2.9), не представляется возможным. Поэтому применяются звенья, выполняющие дифферен­цирующее действие более или менее приближенно. Та­кие звенья называют реальными дифференцирующими звеньями.

Их уравнения могут быть записаны в следующей форме

. (2.10)

Из уравнения (2.10) видно, что при Т→0, но при конечном kТ оно переходит в уравнение, аналогичное уравнению идеального дифференцирующего звена, и под­ходит к нему тем больше, чем меньше Т. Но тогда при малом значении постоянной времени звена необходимо увеличивать значение k. Это обычно приводит к необходимости ставить дополнительный безынерционный усили­тель, особенно если требуется производить дифференци­рование достаточно точно.

Примеры конструктивного выполнения реальных диф­ференцирующих звеньев это обычно пассивные четырехполюсники, со­держащие RС (реже RL и RLM) в электрических цепях, успокоитель с пружиной в механических цепях и другие устройства.

Сообразно с уравнением (2.10) передаточная функ­ция реального дифференцирующего звена может быть записана так

.

Интегро-дифференцирующее звено. Звено называют интегро-дифференцирующим (или упругим), если его уравнение имеет вид

, (2.11)

где Т₁ и Т₂ - постоянные времени;

k - коэффициент усиления звена.

В зависимости от соотношения постоянных време­ни T₁ и Т₂, т. е. от схемы исполнения, звено будет обла­дать различными свойствами: будет работать либо в ре­жиме дифференцирования, либо в режиме интегриро­вания.

Передаточная функция звена, согласно уравнению (2.11) будет

. (2.12)

Запаздывающее звено. Звено определяется как запаздывающее, если оно описывается уравнением следующего вида

, (2.13)

где τ - время запаздывания.

В качестве примера запаздывающего звена можно назвать длинный трубопровод, в первом приближении некоторые тепловые объекты (печи, нагреватели), длин­ную электрическую линию без потерь и некоторые дру­гие.

Передаточная функция звена запаздывания легко выводится из уравнения (2.14) и имеет вид

. (2.14)

Лекция №3. Структурные схемы систем автоматического управления

Содержание лекции:

- назначение структурных схем САУ и основные правила их составления;

- операторный метод исследования и расчета САУ, принцип наложения.

Цели лекции:

- усвоить основные правила составления структурных схем САУ;

- изучить операторный метод изображения зависимости между входной и выходной величинами САУ.

При исследовании и расчете систем автоматического управ­ления исходят из математического описания происходящих в них физических процессов. Обычно это описание бывает пред­ставлено в виде системы дифференциальных уравнений, выра­жающих связи между переменными величинами и их производ­ными. Такой подход, когда уравнения описывают поведение исследуемой системы в целом, является наиболее общим в мате­матическом плане и применимым во всех случаях.

Вместе с тем для большого класса САУ (линейных систем) широко применяется и другой способ, связанный с использованием операторного метода. При этом способе исследуемая система разделяется на части - звенья направленного действия, обладающие свойством передачи сиг­нала только в одном направлении: от входа к выходу. Совокуп­ность этих звеньев совместно с линиями связи между ними, ха­рактеризующими их взаимодействие, образует структурную схему системы управления.

Между функциональными и структурными схемами есть оп­ределенная общность - те и другие отражают процесс передачи и переработки информации в замкнутом контуре системы управ­ления. Однако между ними существует и четкое различие: функ­циональные схемы характеризуют систему по составу входящих в нее элементов, рассматриваемых с точки зрения их назначе­ния, т. е. выполняемых ими функций; структурные схемы, состоящие из звеньев направленного действия, описыва­ют математически динамические свойства системы. Исходя из структуры системы и вида входящих в нее функциональных эле­ментов, можно произвести разделение систем на звенья направ­ленного действия в общем виде так, чтобы для каждого из них можно было наиболее просто определить передаточную функ­цию звена как отношение операторных изображений выходной величины звена к входной и соединить отдельные звенья между собой линиями связи.

W(p)

Х_вх (р) Х_вых(р)

Рисунок 3.1 - Система направлен­ного действия

Передаточная функция каждого звена направленного дейст­вия представляет собой записанное в операторной форме и раз­решенное относительно изображения выходной величины диффе­ренциальное уравнение данного звена. Таким образом, задача составления дифференциальных уравнений САУ в целом сводится к составлению уравнений отдельных звеньев. Получаемый при этом выигрыш в части тру­доемкости становится более очевидным, так как на практике в подавляющем большинстве случаев структурные схемы САУ пред­ставляют собой различные комбина­ции небольшого числа так называе­мых типовых звеньев направленно­го действия, передаточные функции и динамические свойства которых могут быть определены раз и на­всегда.

Рассмотрим разомкнутую систему, обладающую свойством направленного действия (рисунок 3.1). Это может быть как одно звено, так и любая их комбинация.

По определению передаточной функции

, (3.1)

откуда следует основное свойство направленной системы

= (3.2)

т. е. операторное изображение выходной величины равняется пе­редаточной функции системы, умноженной на изображение входной величины.

В действительности, кроме управляющего входного воздей­ствия, всякая реальная система подвержена различным возму­щающим воздействиям (колебания нагрузки, нестабильность характеристик элемен­тов, помехи и т. д.), которые могут посту­пать в систему в лю­бом месте. Для учета их влияния нужно уметь при помощи структурной схемы ус­танавливать зависимости между этими возмущениями и изменениями управляе­мой (выходной) величины системы. Рассмотрим структурную схему САУ, (рисунок 3.2).

Рисунок 3.2 - Структурная схема системы авто­матического управления

Прямая цепь системы со­стоит из последовательно включенных звеньев направленного действия с передаточными функциями G₁(р), G₂(р), G₃(р). На входы двух последних звеньев поступают возмущающие воздейст­вия F₁(р) и F₂(р), суммирующиеся с соответствующими выход­ными величинами предыдущих звеньев. Кроме того, возмущение F₃(р) действует непосредственно на выходную величину систе­мы, что обозначено на схеме специальным элементом суммиро­вания. При этом принципиально важно, что место приложения возмущения F₃(р) охвачено обратной связью, т. е. на звено с пе­редаточной функцией Z(р) поступает выходная величина систе­мы уже с учетом действия F₃(р). В противном случае никакого эффекта регулирования не было бы, так как управляемая вели­чина системы, искаженная влиянием возмущающего воздейст­вия, не корректировалась бы обратной связью.

Из структурной схемы (рисунок 3.2) видно, что возмущающие воздействия F₂(р), F₃(р) поступают на входы звеньев прямой це­пи системы не непосредственно, а через дополнительные звенья с передаточными функциями G _j1(р), G _j3(р), которые отражают характер зависимости данной величины системы от конкретного возмущающего воздействия.

В силу линейности рассматриваемой системы управления, к ней применим принцип наложения, дающий возможность определить общую реакцию системы (изменение выходной величины как сумму частных реакций от каждого из внешних воздей­ствий в отдельности).

Положим =0, F₂(р)=0, F_з(р)=0 и определим зависи­мость от F₁(р). При этом на входе звена G₂(р) действует сумма сигналов F₁(р)+G₁(р)[0 –-Z(p) ], которые, пройдя через звенья G ₂ (р), G ₃ (р), дадут на выходе

= G ₂ (р) G ₃ (р)[ F₁(р)-G₁(р) Z(p) ].

Разрешив последнее равенство относительно , будем иметь

, (3.3)

где = G₁(р) Z(p) - передаточная функция разомкнутой системы.

Полученный результат можно обобщить в виде следующего правила: операторное изображение выходной величины системы равняется дроби, числитель которой есть произведение изобра­жения внешнего воздействия на передаточные функции звеньев, включенных последовательно между точкой приложения воздей­ствия и выходом системы, а знаменатель - увеличенная на еди­ницу передаточная функция разомкнутой системы.

Аналогичным путем получим выражения и для остальных внешних воздействий

, (3.4)

, (3.5)

. (3.6)

При одновременном воздействии всех возмущений результи­рующее значение Х_ВЬ1Х (р) определится как сумма полученных частных значений, что может быть записано следующим обра­зом

. (3.7)

Из выражения (3.7) можно получить (как частный случай) формулы, характерные для следящих систем. Особенностью по­следних, как отмечалось ранее, является передача выходной величины θ_вых к элементу сравнения, т. е. на вход системы, с коэффициентом передачи, равным единице. Кроме того, основ­ным видом внешних воздействий в следящих системах обычно считают входное (управляющее) воздействие θ_вх , отрабатываемое системой с некоторой ошибкой (рассогласованием) θ = θ_вх - θ_вых//.

С учетом сказанного, положив в формулу (3.6) Z(р) = 1, будем иметь

W(p) = G(p)

после чего, заменив в (3.5) обозначения входной и выходной ве­личин, получим

. (3.8)

Соответствующая структурная схема следящей системы при­ведена на рисунке 3.3.

Рисунок 3.3 - Структурная схема следящей системы

В силу линейности преобразований Лапласа, операторные изображения ошибки, входной и выходной величин связаны ме­жду собой так же, как и их оригиналы, т. е.

=-. (3.9)

Определив из (3.9) и подставив в (3.8), получим после несложных преобразований

. (3.10)

Выражения (3.8) и (3.10) называются соответственно пе­редаточными функциями следящей системы по выходной величине и по ошибке.

Во всех рассмотренных случаях передаточные функции замк­нутых систем управления определялись через передаточную функцию разомкнутой системы . Последняя обычно может быть представлена в виде

=, (3.11)

где А(р), В(р) - полиномы от р.

Подставив (3.11) в выражения (3.8) и (3.10), можно полу­чить полезные для расчетов следящих систем формулы

=, (3.12)

=. (3.13)

Рассматривалась отрицательная обратная связь.

Весьма важным преимуществом структурных схем является их физи­ческая наглядность, дающая более ясное представление о про­цессах, происходящих в исследуемой системе, по сравнению с общей формой записи дифференциальных уравнений.

После того как составлена структурная схема и получены пе­редаточные функции входящих в нее звеньев, необходимо опре­делить передаточную функцию всей системы. При этом для определения передаточной функции системы по ее структурной схеме можно, воспользоваться специальными правилами преоб­разования структурных схем, основные из которых приводятся ниже.

Рекомендуется внимательно разобрать сам процесс их вывода, являющийся примером пре­образования структурных схем в наиболее общем виде. Кроме того, в сложных случаях может оказаться выгоднее не пытаться применить окончательные формулы преобразования, а идти пу­тем, намеченным при их выводе.

Лекция №4. Преобразования структурных схем САУ

Содержание лекции:

- основные способы включения звеньев САУ;

- методы преобразования структурных схем САУ.

Цели лекции:

- изучить основные способы включения звеньев САУ;

- изучить методы преобразования структурных схем САУ.

Рассмотрим основные случаи включения звеньев направлен­ного действия.

Последовательное включение (одноконтурная разомкнутая система). Структурная схема приведена на рисунке 4.1.

Рисунок 4.1 - Последовательное включение звеньев

направленного действия

Для каждого из п звеньев мож­но записать

= ,

= ,

…………………………….

= ,

…………………………… (4.1)

= .

Исключая все промежуточные величины, т. е. подставляя предыдущие в последующие, получим выражение для последне­го члена

==

Учитывая, что выход последнего n -го звена является одновре­менно выходной величиной системы, т. е.

=

получим =……. (4.2)

Так как отношение

по определению есть передаточная функция всей системы то окончательно будем иметь

==. (4.3)

Итак, передаточная функция последовательно включенных звеньев равняется произведению пере­даточных функций от­дельных звеньев.

Параллельное, согласное включе­ние. Параллельным со­гласным включением зве­ньев направленного дей­ствия считается такое, при котором входная ве­личина системы подается параллельно на входы всех звеньев, а их выход­ные величины алгебраически суммируются на выходе системы. На рисунке 4.2 изображен частный случай параллельного соглас­ного включения трех звеньев направленного действия.

Рисунок 4.2 - Параллельное согласное вклю­чение

звеньев направленного действия

На основании формулы (4.2) для каждого из п параллельно, включенных звеньев можно записать

= ,

= ,

…………………………….

= ,

……………………………

= .

Суммируя написанные равенства и принимая во внимание, что по определению параллельного согласного включения, звень­ев направленного действия сумма левых частей является выход­ной величиной системы, получим

=++…++…+= (++…++…+).

Согласно определению передаточной функции (4.1), из по­следнего выражения будем иметь

==. (4.4)

Таким образом, передаточная функция параллельных соглас­но включенных звеньев направленного действия равняется алге­браической сумме передаточных функций отдельных звеньев.

Параллельное встреч­ное включение (обратная связь). Рассмотрим сначала ос­новной случай - отрицательную обратную связь.

На рисунке 4.3. изображена струк­турная схема замкнутой системы автоматического управления в наиболее общем виде, где G(р) и Z(р) - передаточные функции соответственно прямой цепи системы и цепи обратной связи. Сигнал обратной связи Х_o.с(р) вы­читается из входного сигнала Х_вх(р) (в случае положительной обратной связи они не вычитаются, а складываются). Переда­точные функции G(р) и Z(р) могут соответствовать как про­стым звеньям направленного действия, так и их любым комби­нациям.

Рисунок 4.3 - Параллельное встречное включение звеньев, направленного

действия (обратная связь)

Для схемы, изображенной на рисунке 4.3,

= G(р)( - Х_o.с(р)),

Х_o.с(р)= Z(р) .

Исключив из них промежуточную величину Х_о.с, получим пе­редаточную функцию замкнутой системы

= Ф(р)=, (4.5)

где = G(р)Z(р) (4.6)

есть передаточная функция разомкнутой системы. Смысл по­следнего названия становится понятным, если мысленно разомк­нуть контур управления в любом месте и, «выпрямив» его, рас­сматривать прохождение сигнала, поданного в месте размыка­ния, по цепочке последовательно включенных звеньев направ­ленного действия.

Итак, передаточная функция замкнутой системы автоматиче­ского управления равняется отношению передаточной функции прямой цепи к увеличенной на единицу передаточной функции разомкнутой системы.

Следует отметить, что этот вывод, равно как и формула (4.5), справедливы только для изображенного на рисунке 4.3 случая, ког­да внешнее воздействие поступает на вход системы управления. Поэтому Ф(р) иногда называют передаточной функцией замк­нутой системы по входному воздействию.

а)

б)

Рисунок 4.4 - Структурные схемы САР напряжения генератора постоянного тока, а – первоначальная, б – преобразованная.

Преобразование многоконтурных структурных схем с пере­крещивающимися связями производят по способу переключения (перенесения) связей, сущность которого поясняется на приме­ре, рисунок 4.4.

Лекция №5. Преобразование Лапласа в применении к теории автоматического регулирования

Содержание лекции:

- математический метод - преобразование Лапласа для САУ (прямое и обратное преобразование);

- определение лапласового изображения для дифференциальных уравнений САУ, рассмотрение конкретных примеров.

Цели лекции:

- изучить математический метод - преобразование Лапласа для систем САУ (прямое и обратное преобразование);

- научиться, на конкретных примерах, преобразовывать дифференциальные уравнения САУ рассмотренным методом.

При исследовании и расчетах систем автоматики ши­роко используется математический метод - преобразо­вание Лапласа.

Основанием для этого служит то обстоятельство, что такое преобразование существенно облегчает исследова­ние сложных систем, заменяя дифференциальные урав­нения алгебраическими. В частности, при решении диф­ференциальных уравнений систем преобразование Лап­ласа позволяет легко учитывать начальные условия и избежать сложных выкладок, связанных с вычислением постоянных интегрирования. Достаточно просто реша­ются также неоднородные уравнения, позволяющие учи­тывать влияние возмущений (записанных в правой ча­сти уравнения) на динамику процессов. Некоторые по­нятия, касающиеся обычного преобразования Лапласа и используемые при исследовании систем автоматики, приводятся ниже, а также в последующих главах.

Преобразование Лапласа преобразует функцию ве­щественного переменного (в том числе времени) в функ­цию комплексного переменного. Такое преобразование превращает дифференциальные уравнения в алгебраи­ческие, что дает определенные преимущества при реше­нии ряда задач.

Распространенное в теории САР понятие так назы­ваемой передаточной функции также использует понятие лапласова изображения.

Общее представление о прямом и обратном преобразованиях Лапласа. Если имеется некоторая функция ƒ (t) независимой вещественной переменной t (обычно времени), то пре­образование Лапласа, производимое над функцией ƒ (t) и обращающее ее в функцию F(р), определяется соот­ношением

(5.1)

здесь р - произвольная комплексная величина, обозна­чаемая , где σ и ω - вещественные переменные.

Функциональное преобразование вида (5.1), осуще­ствляемое над функцией ƒ (t), часто сокращенно обозна­чается так

или . (5.2)

Функция ƒ (t) называется оригиналом, а функция F(р) - изображением функции ƒ (t).

Следует заметить, что при применении преобразова­ния Лапласа к функции ƒ (t) рассматриваются значения этой функции лишь при t>0, т. е. в технических зада­чах после приложения к системе внешних возмущающих воздействий, а именно это и представляет практический интерес при решении задач автоматического регулиро­вания.

Для того чтобы преобразованная функция была опре­делена, достаточно потребовать, чтобы интеграл (5.1) существовал для некоторой области р, за пределами ко­торой этот интеграл может и не иметь смысла. Так, например, изображение оригинала, равного еди­нице, т. е. если ƒ (t) = [1], будет равно

Здесь при вычислении интеграла предполагается, что ве­щественная часть р положительна (σ>0). При σ≤0 ин­теграл не существует, но преобразованная функция от единицы всегда равняется 1/р.

Может случиться, что интеграл (5.1) не существует ни при каких значениях р. В этом случае преобразова­ние (5.2) невозможно. Однако в физических задачах, описываемых дифференциальными уравнениями в пол­ных производных с постоянными коэффициентами, и при обычном типе возмущающих воздействий это преобра­зование всегда осуществимо.

Наряду с прямым преобразованием (5.1) функции времени ƒ (t) в F(р), т. е. наряду с операцией перехода от функции вещественного переменного t к функции ком­плексного переменного р, пользуются обратным преоб­разованием, т. е. преобразованием изображения в ори­гинал. При этом производится обратная операция опре­деления оригинала ƒ (t) по заданному изображению F(р). Эта операция обозначается символом L^-1 или 1/L. Таким образом, в этом случае имеем

(5.3)

При этом преобразовании теорема о начальном значе­нии функции ƒ (t) записывается так

,

а теорема о конечном значении

.

Преобразования Лапласа, часто используемые при расчетах систем автоматики, приведены в учебниках.

Нахождение лапласова изображения для линейного дифференциального уравнения. Положим, что линейная система автоматического ре­гулирования описывается дифференциальным уравнением n-го порядка с постоянными коэффициентами следу­ющего вида

. (5.4)

Умножая левую и правую части уравнения (5.4) на е^-pt и интегрируя в пределах от 0 до ∞, получим

Воспользовавшись вышеприведенными обозначениями, пра­вилами о преобразованиях Лапласа, можно написать

Полагая, что система находится при нулевых начальных условиях и зная лапласово изображение для производ­ных, для данного случая получим

(5.5)

или

(5.6)

Выражение (5.6) является лапласовым изображением дифференциального уравнения (5.4) при нулевых начальных условиях.

Лекция №6. Статическое и астатическое регулирование

Содержание лекции:

- статическое регулирование, рассмотрение примеров, основные характеристики;

- астатическое регулирование, рассмотрение примеров, основные характеристики.

Цели лекции:

- изучить принцип построения статического регулятора, основные определения и характеристики;

- изучить принцип построения астатического регулятора, основные определения и характеристики.

Одной из существенных характеристик систем авто­матического регулирования является зависимость меж­ду значением регулируемого параметра и величиной внешнего воздействия (нагрузкой) на объект регулиро­вания. По виду таких рабочих характеристик различа­ют статическое и астатическое регулиро­вание.

Статическое регулирование. Регулированием со статической характеристикой на­зывается такое, при котором в установившемся состоя­нии имеется определенная зависимость между величи­ной отклонения регулируемого параметра от заданного значения и величиной внешнего возмущения, например нагрузкой объекта регулирования. При статическом ре­гулировании величина регулирующего воздействия одно­значно связана с отклонением регулируемого параметра от заданного значения. Отсюда следует, что для создания требуемого регулирующего воздействия, устраняющего соответствующее влияние внешнего возмущения, обяза­тельно должно иметь место отклонение регулируемого параметра. Поэтому при статическом регулировании всегда имеется остаточное отклонение регулируемого параметра от номинального значения. Равновесие систе­мы при статическом регулировании для разных нагрузок имеет место при различных значениях регулируемого па­раметра, лежащих в заданных заранее пределах.

Пример статического регулятора приведен на рисунке 6.1, а. Принцип действия этого регулятора доста­точно ясно виден из рассмотрения схемы и особых пояс­нений не требует. Заметим лишь, что требуемое возбуж­дение генератора 1 осуществляется путем изменения входного сигнала электронного усилителя 2. В свою оче­редь, этот сигнал пропорционален отклонению регули­руемого параметра u_Г от заданного значения u_ЗАД. Поэтому такое отклонение, т. е. наличие Δu, является не­избежным и должно быть тем больше, чем больше изме­няется величина внешнего возмущения. Очевидно, что это отклонение регулируемого параметра от заданного значения сохраняется также и в установившемся поло­жении. Рабочая характеристика (зависимость напряжения от нагрузки) статического регулятора, называемого иногда пропорциональ­ным регулятором, приве­дена на рисунке 6.1, 6.

На рисунке 6.1, в пока­зан переходный процесс в системе при уменьше­нии нагрузки генератора. Выходное напряжение u_Г при этом увеличивается с u_Г1 до u_Г2.

При решении однотип­ных задач статические регуляторы обычно имеют сравнительно менее сложное кон­структивное исполнение, чем астатические регуляторы. Вместе с тем такие регуляторы органически обладают погрешностью в поддержании постоянства величины ре­гулируемого параметра при разных внешних нагрузках.

Рисунок 6.1 - Пример статического регулятора и его характеристика

Астатическое регулирование. Регулированием с астатической характеристикой на­зывается такое регулирование, при котором в устано­вившемся состоянии системы отклонение регулируемого параметра от заданного значения равно нулю при любой величине внешнего возмущения. Равновесие системы имеет место всегда при заданном значении регулируемо­го параметра. В установившемся состоянии при неизменном возмущении неизменным должно быть также и ре­гулирующее воздействие, т. е. скорость его изменения должна быть равна нулю, а это возможно, если откло­нение параметра регулирования от номинального значе­ния равно нулю.

Характеристика астатиче­ского регулятора приведена на рисунке 6.2, б, а кривая пе­реходного процесса - на рисунке

Дата добавления: 2014-01-04