Аксиомы для линейной функции полезности

В данном разделе будут рассмотрены аксиомы (или условия) для отношения на множестве Р, выполнение которых означает, что существует линейная функция полезности для отношения на Р. Аксиом A1, А2, АЗ достаточно для существования линейной функции полезности для отношения на Р. Выполнение аксиом В1, В2, ВЗ обеспечивает необходимые и достаточные условия существования совершенной линейной функции полезности для отношения на множестве Р. В каждом случае Х представляет собой любое непустое множество, причем не обязательно конечное или исчислимое. Аксиомы не означают, что полезность ограничена, хотя ограниченность полезности обычно возникает в результате применения аналогичных аксиом к непростым распределениям вероятностей.

Первоначальная аксиоматика для совершенной функции полезности была предложена Нейманом и Моргенштерном, и поэтому совершенную линейную функцию u на P (или дополнительную к ней функцию v на Х) часто называют функцией полезности Неймана - Моргенштерна. Используется также выражение «полезность по Бернулли», поскольку Бернулли внес вклад в разработку этого вопроса.

При формулировке каждой аксиомы предполагается, что все р, q, r и s принадлежат множеству Р.

Аl. Отношение на Р не рефлексивно.

А2. Если 0<< 1, рq и rs, то р + (1-)r q+(1-) s.

АЗ. Если рq и rs, то р+(1-)sq+(1-)r для некоторого , заключенного строго между 0 и 1.

В1. Отношение на Р является слабым упорядочением.

В2. Если 0<< 1 и рq, то р + (1-)rq+(1-) r.

ВЗ. Если рq и qr, то р+(1-)rq и qp+(1-)r для некоторых и , лежащих строго между 0 и 1.

Аксиомы А1 и В1 уже обсуждались выше (они означают, что отношение ациклично); аксиомы А2 и В2 называют по-разному: аксиомами независимости, аддитивности или условиями линейности. Линейные свойства функции u (1.4) получаются непосредственно из этих аксиом. Рациональное обоснование аксиом А2 и В2 обычно дается следующим образом: сначала выбирают р и r с соответствующими вероятностями а и (1-), а затем составляют выражение р+(1-)r на основе ранее сделанного выбора. Такой подход представляется достаточно разумным, но иногда вызывает возражения с психологической точки зрения. Поясним аксиому А2 с помощью следующего примера. Запишем диаграмму и будем считать, что мы выбираем строку А или B, а нейтральный наблюдатель выбирает столбец с вероятностями и (1-):

		1-
A	p	r
B	q	s

После выбора строки и столбца получаем соответствующие р, q, r и s. Если мы предпочитаем р по сравнению с q и r по сравнению с s, то первая строка A строго доминирует вторую строку B в смысле нашего предпочтения; но это наводит на мысль, что мы будем (или даже должны) выбирать А вместо В, не обращая никакого внимания на значение величины . Поскольку А и В характеризуются выражениями р(1-)r и q+(1-)s, то имеем: если рq и rs, то р+(1-)rq+(1-)s.

Аналогично можно обосновать аксиому В2, заменив s на r в приведенной: диаграмме, где >0. Если рq, то (так как r~r) представляется разумным предположить (или предложить), что А будет выбираться вместо В или что р + (1-) rq +(1-)r. С психологической точки зрения определенная «слабость» аксиомы В2 заключается в некотором пренебрежении краевыми эффектами. Если очень мало (близко к нулю), то субъект может на самом деле и не стараться уловить различия между А и В (или он просто не в состоянии это сделать), поэтому ему будет безразлично, что выбирать: А или В. Такой критике нельзя подвергнуть аксиому А2, поскольку в ней как рq, так и rs.

Последними в данных наборах аксиом являются аксиомы А3 и В3, которые часто называют аксиомами Архимеда или условиями непрерывности. Смысл их введения состоит в том, чтобы вместе с другими аксиомами обеспечить существование вещественных функций полезности; с этой точки зрения они играют ту же роль, что и условие «плотности относительно упорядочения» из подраздела 1.2.3.

Аксиома А3 сильнее, чем В3, поскольку она включает условие аксиомы В3. Чтобы продемонстрировать очевидную разумность этих аксиом, достаточно положить 1 в аксиоме А3 или взять 1, а 0 в аксиоме В3.

1.3.3. Полезность « богатства»

Поскольку часто предполагают, что Х является набором некоторых величин, выраженных в денежных единицах, то для полноты обсуждения теории ожидаемой полезности мы посвятим данный раздел этому вопросу. Пусть х=0 представляет «богатство» в данный момент, а остальные элементы Х являются потенциальными добавками к имеющемуся «богатству» В дальнейшем будем предполагать следующее:

- аксиомы В1, В2, В3 выполняются;

- u - совершенная линейная функция полезности для отношения на Р;

- v - вспомогательная функция полезности на Х, определенная с помощью (1.5);

- v возрастает по х.

В данном разделе часто встречаются три понятия - гарантированный эквивалент, минимальная продажная цена и максимальная покупная цена для некоторой лотереи р на Х. Поясним смысл этих терминов в предположении, что v - непрерывная функция. Гарантированным эквивалентом с(р) лотереи р называется величина х, при которой некоторому субъекту безразлично, что он получит: лотерею р или гарантированную величину х; следовательно, она определяется как u(р)=v(с(р)).

Минимальной продажной ценой s(р) лотереи р называется наименьшая величина х, за которую субъект согласится продать лотерею р, если он получит р в качестве «подарка», то есть, станет владельцем лотереи. Поскольку полезность лотереи р есть u(р), а v(х) - полезность от продажи лотереи р за х денежных единиц, то u(р)=v(s(р)) то есть, s(р)=с(р). Таким образом, гарантированный эквивалент и минимальная продажная цена совпадают.

Максимальной покупной ценой b(р) лотереи р называется наибольшая величина, которую субъект заплатил бы (без затрат на сделку) из имеющихся у него денег за право владения лотереей р. Если он платит х за лотерею р, то полезность после сделки равна u(p_x), где р_x определяется из соотношения р_x(у-х)=р(у) для всех у из Y. Поскольку полезность до сделки равна v(0), то v(0)=u(p_b₍_p)). Нет никакой уверенности в том, что b(р)=s(р), если функция v не является линейной по х (нейтральной относительно риска). Кроме того, величины s(р) и b(р) могут быть как отрицательными, так и положительными или даже равными нулю. Например, если b(р)<0, то это означает, что субъект требует вознаграждения в размере -b(р) (или больше) за свое согласие участвовать в «неблагоприятной» лотерее р. Аналогично, если s(р)>0, то он сам заплатит сумму денег в размере -s(р) (или меньше), чтобы избавиться от лотереи р.

Пусть р - обычная «благоприятная» лотерея; тогда нет никакого несоответствия в следующих типах поведения:

- субъект заплатил бы $300 за право владения лотереей р, но если бы она досталась ему бесплатно, то он продал бы ее всего за $250;

- субъект заплатил бы $1000, чтобы получить р, но если бы он купил р, скажем, за $980, то ему бы уже не хотелось платить больше, чем $850 за вторую лотерею, которая является точной копией первой.

Различные исследователи предпринимали попытки рационализировать или объяснить такие индивидуальные действия, как участие в лотереях и покупку страховок, путем использования графика функции v и его характерных особенностей. Эту функцию называют:

- функцией уклонения от риска (рисунок 4), если она строго вогнута на некотором интервале, причем для ху и 0<<1 справедливо неравенство v(х)+(1-)v(у)<v(х+(1-)y);

- нейтральной относительно риска, если она линейна нa некотором интервале, и v(х)+(1-)v(у)=v(х+(1-)y);

- функцией стремления к риску, если она строго выпукла на некотором интервале и v(х)+(1-)v(у)=v(х+(1-)y).

Можно определить и другие признаки отношения субъекта к риску.

Пусть v - непрерывная функция на интервале определения; тогда она является функцией уклонения от риска, если и только если с(р)<x+(1-)у при р(х)= , р(у)=(1-), 0<<1 и ху для x, у, лежащих внутри интервала; если же v дважды дифференцируема, то она будет функцией уклонения от риска тогда и только тогда, когда v"(х)<0 для всех х, лежащих внутри интервала. Величина может рассматриваться как мера уклонения от риска в локальной окрестности точки х. Аналогичные утверждения справедливы для функции стремления к риску при с(р)> х+(1-)у или v"(х)>0.

Некоторая конкретная функция v может вести себя различным образом на разных интервалах. На рисунке 4 изображена функция v, которая является функцией стремления к риску на интервале [0, x], функцией уклонения от риска на интервале [х, у] и нейтральной относительно риска на интервале [х-b(р), 0]. Гарантированный эквивалент с(р) и максимальная покупная цена b(р), показанные на рисунке 4, вычислены при условии р(х)=р(у)=.