КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Лекция 10 электростатика. Часть IV
10.1 ДИЭЛЕКТРИКИ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ (Часть 2) 10.1.1 Теорема Гаусса для электрического поля в диэлектрике 10.2 МЕТАЛЛЫ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ 10.2.1 Напряжённость и потенциал электрического поля в уединённом проводнике 10.2.2 Электроёмкость уединённого проводника 10.2.3 Энергия уединённого заряженного проводника 10.2.4 Электрические конденсаторы. Электроёмкость конденсатора. Электроёмкость плоского конденсатора Некоторые примеры Вопросы для повторения
10.1 ДИЭЛЕКТРИКИ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ (Часть 2)
10.1.1 Теорема Гаусса для электрического поля в диэлектрике
Как мы показали на предыдущих лекциях, теорема Гаусса позволяет вывести формулы для расчёта напряжённости электрического поля в вакууме. Но прямое использование данной теоремы для расчёта поля в диэлектрике осложняется необходимостью учёта вклада в суммарный заряд, охватываемый выбранной замкнутой поверхностью, всех зарядов молекул вещества, также охваченного этой поверхностью. Понятно, что в целом молекулы электронейтральны, но ведь при произвольном выборе поверхности часть из них будет «рассекаться» этой поверхностью на положительно и отрицательно заряженные части, вклад которых в общий заряд нам приходится учитывать. Рассмотрим эту ситуацию подробнее на примере неполярного диэлектрика. Пусть такой материал, в который помещены N заряженных объектов (их заряды q 1 ¸ q N мы будем называть свободными), находится в неоднородном электростатическом поле напряжённостью. В этом поле молекулы материала станут диполями, причём их дипольные моменты в каждой точке будут параллельны силовым линиям поля (рис. 10.1). Окружим некоторую область вещества замкнутой поверхностью (на рисунке её сечение обозначено BFJM на сером фоне), и подсчитаем заряд, охватываемый этой поверхностью.
Во-первых, эта поверхность охватывает свободные заряды, сумма которых равна . Во-вторых, поверхность охватывает заряды, связанные c диполями, однако, часть диполей целиком находится в охватываемой области, и их суммарный вклад в общий заряд равен нулю (на рисунке это диполи 2, 8, 9, 11). Часть диполей лежит вне охватываемой области, и поэтому их заряд также учитывать не нужно (диполи 3, 5, 10, 14). Вблизи малого участка dS, в области которого поле можно считать практически однородным, суммарный заряд dQ, который соответствует диполям, лишь одной вершиной находящейся в охватываемой области (диполи 4, 12, 13), равен
dQ = - qndV, (10.1)
где n – концентрация диполей (их общее число в единице объёма), dV = l × cos a× dS – объём вблизи площадки dS, занимаемый зарядом, который следует учитывать, l – длина диполя, a – угол между вектором и внешней нормалью к dS. В формуле (10.1) учтено, что заряд, который мы учитываем, отрицателен. Согласно теореме Гаусса, интегрируя по всей замкнутой поверхности, получим: = + , или = + .
Но произведение ql = pe, причём npe = P, где pe – электрический дипольный момент молекулы, а P – поляризованность вещества. Более того, по определению скалярного произведения и учитывая, что площадке dS соответствует вектор , направленный по вектору внешней нормали, можно записать:
= - . Оба интеграла, входящие в эту формулу, берутся по одной и той же поверхности, поэтому их можно объединить:
= . Комбинация векторов напряжённости электрического поля и поляризованности, стоящая под знаком интеграла, обозначается символом и называется вектором электрического смещения:
= e0+ . (10.2)
Формулировка же теоремы Гаусса приобретает вид: поток вектора электрического смещения через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме свободных зарядов, охватываемых этой поверхностью,
= . (10.3) Очевидно, что в вакууме, где нет никаких дипольных моментов и = 0, формула приобретает уже знакомый нам вид. На практике, описывая связь векторов и , обычно учитывают, что = e0k, где k – диэлектрическая восприимчивость вещества (это мы показали на прошлой лекции). При этом
= e0+ = e0+ e0k= (1 + k)e0.
Сумма 1 + k обозначается буквой e и называется диэлектрической проницаемостью вещества, то есть
= ee0. (10.4)
Применяя теорему Гаусса, сформулированную для электрического поля в диэлектрике, и используя соотношение (10.4), можно вывести выражения для напряжённости электрического поля, создаваемого в этом диэлектрике равномерно заряженными сферой (вне сферы E = ), нитью (E = ), плоскостью (E = ). Студентам предлагается сделать это самостоятельно.
10.2 МЕТАЛЛЫ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ
10.2.1 Напряжённость и потенциал электрического поля в уединённом проводнике
Согласно классической теории электропроводности, главным отличием диэлектриков от металлов является наличие в последних газа свободных электронов, оторвавшихся от атомов кристаллической решётки и способных свободно перемещаться по всему объёму образца. Направленное движение электронов (электрический ток) возникает под влиянием силы, действующей со стороны электрического поля, но если тока нет, то это означает, что нет и силы, а, значит, внутри проводника не должно быть электрического поля, E ВНУТР = 0 (здесь E ВНУТР – напряжённость электрического поля внутри проводника). Принимая во внимание связь напряжённости электрического поля с потенциалом ( = - grad j), из условия, что E ВНУТР = 0, получаем, что внутри проводника потенциал должен быть везде одинаков, j = const. Таким образом, в постоянном электрическом поле объём уединённого проводника и его поверхность эквипотенциальны.
Внесение даже нейтрального проводника в электрическое поле меняет картину силовых линий этого поля: свободные заряды, имеющиеся в проводнике, перераспределяются по его поверхности таким образом, чтобы компенсировать действие внешнего поля (и обеспечить выполнение условия E ВНУТР = 0), – рис. 10.2. Данный эффект положен в основу электростатической защиты электронного оборудования: если защищаемый от внешних полей прибор со всех сторон окружить металлическим корпусом, последний станет играть экранирующую роль: перераспределившиеся по его поверхности заряды обеспечат нулевую напряжённость электрического поля в объёме, ограниченном этим корпусом.
10.2.2 Электроёмкость уединённого проводника
Если уединённому (расположенному вдалеке от других заряженных и проводящих тел) проводнику сообщить электрический заряд q, то приобретаемый им при этом потенциал j окажется связан с q прямой пропорциональной зависимостью: j ~ q. Коэффициент пропорциональности
C = (10.5)
называется электроёмкостью уединённого проводника, он не зависит ни от q, ни от j, а определяется лишь свойствами материала окружающей среды (диэлектрика), размером проводника и его формой (сокращенная аббревиатура МРФ). Поясним сказанное выводом формулы для электроёмкости уединённого металлического шара (или сферы) радиусом R Ш, находящегося в среде с диэлектрической проницаемостью e. Сначала получим формулу для потенциала поверхности шара, с зарядом q. Как мы говорили ранее, это поверхность эквипотенциальна, силовые линии перпендикулярны к ней и при их мысленном продолжении проходят через центр шара (мысленном, поскольку поля внутри шара нет). В этом случае связь потенциала с напряжённостью удобно описывать не зависимостью = - grad j), а формулой, применяемой при движении вдоль силовой линии (в вдоль прямой, исходящей из центра шара: E = - . Кроме того, учтём, что напряжённость электрического поля вне равномерно заряженного шара описывается выражением E = .
При перемещении с поверхности шара на бесконечность должно выполняться соотношение: = - = - = . Поскольку на бесконечности потенциал мы приняли равным нулю (j¥ = 0), можно записать: jШ = . (10.6) Теперь пришла пора использовать определение электроёмкости: C = , и получить искомую формулу C Ш = 4pee0 R Ш. (10.7)
Мы видим, что электроёмкость шара C Ш действительно зависит от свойств материала окружающей среды (его e), размера шара (R Ш) и его формы (мы явно воспользовались тем, что это именно шар, вспоминая формулу для напряжённости электрического поля). В СИ электроёмкость измеряется в фарадах, 1 Ф = 1 Кл×В-1. Формула 10.7 позволяет определить единицу измерения[8] электрической постоянной: [e0] = [ C Ш]/[ R Ш] = Ф/м
10.2.3 Энергия уединённого заряженного проводника
Ранее мы получили, что потенциальная энергия W П точечного заряда q, находящегося в вакууме на расстоянии r от другого точечного заряда Q, рассчитывается по формуле W П = . Нетрудно показать, что если заряды находятся в среде с диэлектрической проницаемостью e, формула принимает вид W П = . Обозначим один заряд q 1, а второй, соответственно, q 2. Тогда
W П = = = = q 1+ q 2= + .
Здесь j1 – потенциал поля, создаваемого первым зарядом в той точке, где находится заряд q 2, и, наоборот, j2 – потенциал поля, создаваемого зарядом q 2 в той точке, где находится заряд q 1. Оба слагаемых равноценны: всё равно считать, который из зарядов находится в поле соседа, то есть энергия W П является общей потенциальной энергией данной системы зарядов. Для потенциальной энергии системы, состоящей не из двух, а из N точечных зарядов q 1, q 2, …, qi, …, qN, можно записать:
W П = . (10.8)
Такой системой можно считать поверхность имеющего заряд q проводника, предварительно разбив её на N достаточно малых частей. Однако, в отсутствие электрического тока, все точки проводника имеют одинаковый потенциал j, следовательно,
W П = = = ,
Используя определение электроёмкости (10.5), выражение для энергии заряженного проводника, можно представить в виде: W П = = = . (10.9)
10.2.4 Электрические конденсаторы. Электроёмкость конденсатора. Электроёмкость плоского конденсатора
Электрическим конденсатором называется система, состоящая из двух близко расположенных проводников. Чаще всего в электрических схемах конденсаторы соединены таким образом, что при накоплении на одном из них заряда + q, заряд на другом оказывается равным - q. Если принять потенциал первого проводника равным j1, а потенциал второго, равным j2, то электроёмкостью конденсатора будет называться отношение
C = . (10.10) С учётом введённого ранее обозначения U = j1 - j2, выражение (10.10) приобретает вид: C = . (10.11)
Так же, как и в случае уединённого проводника, электроёмкость конденсатора зависит от свойств материала окружающей среды (М), размеров проводников (Р), и их формы (Ф), в том числе – от геометрии их взаимного расположения в пространстве, и также измеряется в фарадах. Следует особо обратить внимание на то, что электроёмкостью обладает система из двух любых близко расположенных проводников, а не только тех, которые входят в состав используемых в радиосхемах конденсаторов. Центральная жила кабеля и его заземляющая оплётка – электрический конденсатор, провод линии электропередачи и земля – тоже и т. д. То, что такие системы обладают собственной электроёмкостью, необходимо учитывать при расчёте токов утечки (как известно, конденсатор проводит переменный электрический ток), возможных наводок паразитных сигналов в цепях работающей аппаратуры. В общем случае расчёт электроёмкости системы из двух проводников может быть весьма затруднителен, поэтому на практике конденсаторы изготавливают из таких материалов, таких размеров и формы, для которых расчёт C достаточно прост. В качестве примера покажем, как рассчитывается электроёмкость плоского конденсатора: системы из двух параллельных разноимённо заряженных проводящих (металлических) плоских пластин, линейные размеры которых много больше расстояния d между ними. Площадь каждой из пластин S; между пластинами находится изолирующая среда с диэлектрической проницаемостью e. Полагая, что в наших условиях каждую заряженную пластину можно считать плоскостью с поверхностной плотностью заряда +s и -s соответственно, запишем формулу для напряжённости электрического поля в области между пластинами: E = (студентам предлагалось вывести её самостоятельно по аналогии с формулой для напряжённости поля в области между двумя параллельными, находящимися в вакууме плоскостями E = ). Ранее мы рисовали картину силовых линий внутри плоского конденсатора: они перпендикулярны пластинам, поэтому, выбрав ось координат X так, как это показано на рис. 10.3, и вспомнив связь E с j, запишем, что вдоль силовой линии E = - . Из этого выражения следует: d j = - Edx, или = -, то есть j2 - j1 = - d. По ходу дела отметим полученное нами и очень полезное в практическом отношении соотношение: для плоского конденсатора
E = . (10.12) Поскольку U = j1 - j2, а s = q/S, где q – заряд одной пластины, можно записать, что U = d. С учётом определения C = q / U, мы получаем искомую формулу для расчёта электроёмкости плоского конденсатора:
C = . (10.13)
Расчёт электроёмкости конденсаторов других конструкций (цилиндрических, сферических и т. д.) ведётся по аналогичному принципу: сначала выводим формулу для расчёта E (например, – с помощью теоремы Гаусса), затем, используя связь E с j, находим разность j1 - j2 между проводниками-обкладками конденсатора, после чего применяем формулу-определение C. Из формулы (10.13) можно легко получить единицу измерения электрической постоянной e0 (Ф/м). В заключение отметим: в электрических схемах конденсаторы могут соединяться друг с другом и с другими элементами цепи разным образом. О способах соединения простейших элементов электрических цепей и о методах соответствующих расчётов будет рассказано на практических занятиях.
Некоторые примеры
- Электроёмкость планеты Земля составляет примерно 700 мкФ. - Для экранировки внешнего электростатического поля в обычных условиях достаточно слоя металла толщиной в один – два атомных слоя.
Вопросы для повторения
1. Что называется вектором электрического смещения? В каких единицах его величина измеряется в СИ? 2. Сформулируйте теорему Гаусса для электрического поля в диэлектрике; запишите соответствующую формулу и поясните смысл входящих в формулу величин. 3. Продемонстрируйте, как применяется теорема Гаусса для вычисления напряженности электрического поля в диэлектрике в случае полей, создаваемых: а) равномерно заряженной сферой; б) равномерно заряженной тонкой бесконечной прямой нитью; в) равномерно заряженной плоскостью; г) двумя параллельными разноимённо заряженным плоскостями. 4. Что называется электроёмкостью уединённого проводника? От чего она зависит? В каких единицах измеряется в СИ? 5. Выведите формулу для расчёта электроёмкости металлического шара. 6. Что называется электроёмкостью конденсатора? От чего она зависит? В каких единицах измеряется в СИ? 7. Выведите формулу для расчёта электроёмкости плоского конденсатора.
Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 454; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |