Понятие многочлена, корни многочленов, кратность корня, основные теоремы алгебры, следствия из теорем

Лекция 3

3. Возведение в степень.

Для возведения комплексного числа в целую положительную степень применяют формулу Муавра:

(3.1)

Данная формула является следствием формулы (2.14).

Пример. Возвести комплексное число в степень:
1) .

Решение. 1. Пусть , тогда для комплексного числа в числителе и знаменателе найдем модуль и аргумент и перепишем в показательной форме, имеем , значит ,а , , , , тогда получим

4. Извлечение корня порядка .

Определение. Корнем -й степени из комплексного числа называется комплексное число , такое что , где - натуральное число. Обычно используется обозначение .

Корень -й степени из комплексного числа имеет различных значений, которые находятся по формуле Муавра-Лапласа:

(3.2)

Или через показательную форму

(3.3)

Где .

Точки, соответствующие являются вершинами правильного – угольника, вписанного в окружность с центром в начале координат и радиусом .

Способ построения для (рис.3.1):

1) Из начала координат описываем окружность радиуса .

2) Если то из начала координат проводим луч под углом к положительному направлению . Пересечение луча с окружностью дает точку .

3) Вписываем в окружность правильный – угольник, одна из вершин которого найденная точка . Точки пересечения – угольника и окружности есть решения .

Рис. 2.2

Пример. Найдем все значения .

Решение. Тригонометрической формой числа 1 является: .

Значениями являются числа: , различными будут лишь корни при следующих значениях , ; ;.

Полученные значения являются вершинами правильного треугольника вписанного в окружность радиуса .

Пример. Корни -ой степени из единицы есть вершины правильного n-угольника, вписанного в единичный круг.

Определение. Многочленом одной переменной называется функция , где - действительные или комплексные коэффициенты, а - целое неотрицательное число. Если , называют степенью многочлена и обозначают , а - старшим коэффициентом. Многочлен называется нулевым, если все его коэффициенты равны нулю. Коэффициент при в нулевой степени называют постоянным или свободным членом.

Многочлены степени называются соответственно линейными, квадратичными (или квадратными), кубичными и т.д. В дальнейшем рассматриваются только действительные коэффициенты .

Определение. Корнем многочлена называется такое , при котором .

Основная теорема алгебры. Всякий многочлен положительной степени имеет, по крайней мере, один корень действительный или комплексный.

Деление многочленов. Из курса элементарной алгебры известен метод деления уголком для целых чисел, аналогичный алгоритм имеет место и для многочленов.

Пусть даны два многочлена: и , где и, тогда многочленусопоставляется одна и только одна пара многочленов , для которых , , называют частным деления, а - остатком.

Если , тогда говорят, что делится на .

Если многочлены имеют действительные коэффициенты, то и также имеют действительные коэффициенты.

Пример. Проверить, делится ли многочлен на .

Решение. Разделим многочлены столбиком, т.е.

_

_

_

:

Итак, многочлен делится на и может быть представлен в виде .

Теорема Безу. Число является корнем многочлена тогда и только тогда, когда делится на линейный многочлен ().

Доказательство. В результате деления на () имеем . Степень , значит тогда подставим в , получим , следовательно и .

Теорема. При делении на , остаток , т.е. .

Пример. Проверить, делится ли многочлен на .

Решение. Разделим многочлены столбиком, т.е.

_

_

_

_

;

степень остатка меньше степени делителя, останавливаем деление.

Итак, многочлен не делится на и может быть представлен в виде .

Проверить, правильно ли выполнено деление можно, используя предыдущую теорему, согласно которой , действительно, , значит деление выполнено правильно.

Определение. Число называется – кратным корнем многочлена , если делится на , но не делится на . Корень кратности называют простым корнем.

Теорема. Если - корни многочлена степени – кратности соответственно и , тогда , где – многочлен степени (такой, что .

Доказательство данной теоремы следует из теоремы Безу.

Правило определения кратности корня

Пусть – корень кратности многочлена степени , тогда

, где и

, где , продолжая вычислять производные на – ом шаге получим,

, т.к. , следовательно, , тогда можно предложить следующее правило для вычисления кратности корня многочлена.

Для того чтобы определить кратность корня многочлена , вычисляем значения производных в точке и как только , тогда - кратность корня.

Дата добавления: 2014-01-04