Основные определения. В теории вероятностей предполагается, что все основные характеристики случайного события, случайной величины или случайного процесса известны

Постановка задачи

В теории вероятностей предполагается, что все основные характеристики случайного события, случайной величины или случайного процесса известны. На практике это бывает крайне редко, и все характеристики или их часть (функция распределения, плотность вероятности, моменты случайной величины, корреляционную функцию случайного процесса) нужно находить из эксперимента.

Как оценить неизвестную вероятность события на основании наблюдения? Как оценить неизвестную плотность распределения? Как оценить характеристики случайного процесса по наблюдаемым реализациям? Такие задачи решаются в теории оценивания.

Наряду с упомянутыми, вопросами часто возникают другого рода вопросы: из тех или иных соображений выдвигаются некоторые гипотезы (случайное событие происходят с данной вероятностью, наблюдаемая величина распределена по нормальному закону и т.д.). Проверка такого рода гипотез по наблюдаемым данным составляет содержание раздела статистики.

Как правило, исходными статистическими данными является результат наблюдения некоторой конечной совокупности случайных величин .

В некоторых случаях данную последовательность случайных величин можно рассматривать как совокупность наблюдений одной случайной величины, где случайная величина соответствует результату -ого наблюдения.

Совокупность наблюдаемых случайных величин называют выборкой, величины - элементами выборки, а их число - объемом выборки. Конкретные значения выборки, полученные в результате опыта, называют реализацией выборки и обозначают .

Например, если изучить оценки, полученные студентами по курсу математики в группе, состоящей из 20 студентов, то можно ввести выборку , где - случайная величина, соответствующая оценке-ого ученика в ведомости. Если рассмотреть значения выборки в разных группах, то они могут иметь вид (2; 5; 4…;5);(5; 4; 3;…;2) и т.д.

Выборка строится на основе генеральной совокупности, т.е. совокупности всех возможных значений наблюдаемой случайной величины. В некоторых случаях выборка совпадает с генеральной совокупностью, такое обследование называется сплошным. На практике, сплошное обследование применяется крайне редко, обычно генеральная совокупность имеет большой объем, и провести сплошное обследование физически невозможно. Поэтому обычно объем выборки значительно меньше объема генеральной совокупности. При этом большое значение имеет способ формирования выборки на основе генеральной совокупности. Для того, чтобы по выборке можно было бы судить о интересующем нас признаке, выборка должна быть репрезентативной (представительной), т.е. объекты выборки должны достаточно хорошо представлять генеральную совокупность.

Можно утверждать, что выборка будет репрезентативной, если выбор ее элементов осуществлять случайно: каждый объект выборки отобран случайно, если все объекты выборки имеют одинаковую вероятность попасть в нее.

Глава 6.2. Выборочные характеристики случайной величины

Дата добавления: 2014-01-04