Уравнение плоской гармонической волны. Волновое уравнение

Уравнение волны позволяет найти смещение s любой частицы среды от ее положения равновесия. Смещение зависит от координат частицы и времени s(x, y, z, t) и является периодической функцией.

Будем считать, что частицы среды совершают гармонические колебания и образуют плоскую волну движущихся в направлении оси х.

Выделим в среде две волновые поверхности так, чтобы одна проходила через начало координат (поверхность О), другая – через произвольную точку с координатой х (поверхность Х) (рис. 5.2). Пусть смещение частиц принадлежащих волновой поверхности О, изменяется как Колебания частиц, принадлежащих поверхности Х, начнутся позже, так как требуется время за которое волна проходит расстояние х, отделяющее поверхности О и Х.

Смещения частиц поверхности Х будут отставать по времени от аналогичных смещений частиц поверхности О на и для них

(5.2)

Уравнение (5.2) – есть уравнение плоской гармонической волны, распространяющейся в направлении оси х. s определяет смещение от положения равновесия любой из частиц с координатой х в момент времени t, А – максимальное смещение.

Запишем уравнение волны

(5.3)

где волновое плечо.

Уравнение волны, распространяющейся в направлении, противоположном оси, имеет вид

График и функции s(t) и s(x) при некотором фиксированном значении х и t приведены на рис. 5.3

Уравнение плоской волны записывается в результате решения волнового дифференциального уравнения в котором вторые частные производные от смешения по координатам связаны со вторыми производными от смещения по времени Продифференцируем уравнение волны (5.3) дважды по времени t и координатой х и полученные равенства поделим

Так как то , и волновое уравнение плоской гармонической волны запишется в виде

(5.4)

Для волны распространяющейся в произвольном направлении, волновое уравнение имеет вид:

(5.5)

Приведем формулы для расчета скорости распространения волны в разных средах, которые могут быть полезны при решении инженерных задач.

1. В растянутой струне скорость распространения поперечной волны зависит от силы натяжения струны и от ее массы, приходящейся на единицу длины, (, где – плотность материала, S – площадь поперечного сечения, - длина струны)

. (5.7)

2. Скорость распространения колебаний в твердом тонком стержне для продольной волны

, (5.8)

, (5.9)

где Е – модуль Юнга, G – модуль сдвига, - плотность материала стержня.

3. Скорость распространения звуковой волны в идеальном газе

, (5.10)

где – показатель адиабаты, Т – температура, R– универсальная газовая постоянная, – молярная масса газа.

Дата добавления: 2014-01-04