Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Вынужденные колебания. Резонанс. Амплитуда и фаза вынужденных колебаний


Рассмотрим колебания, которые поддерживаются в системе внешней гармонической силой F = F0Coswt. Такие колебания называются вынужденными.

Обратимся вновь к пружинному маятнику. Вспомним уравнения движения этого осциллятора:

— уравнение собственных незатухающих колебаний. В системе действует одна упругая сила Fупр = –kx;

— собственные затухающие колебания. В системе появилась сила вязкого сопротивления, пропорциональная скорости .

В случае вынужденных колебаний кроме двух названных сил — упругой и силы сопротивления, на систему действует ещё одна сила: F = F0Coswt.

— дифференциальное уравнение вынужденных колебаний пружинного маятника. Это уравнение движения принято записывать так:

.

Введя знакомые обозначения и , представим уравнение движения осциллятора окончательно в таком виде:

. (13.14)

Опыт показывает, что под действием гармонического возмущающего усилия F = F0Coswt осциллятор совершает гармонические колебания с частотой вынуждающей силы w:

х = ACos(wt + a). (13.15)

Если частота w известна, то задача сводится к определению амплитуды вынужденных колебаний А и начальной фазы a.

Продифференцировав функцию (13.15), подставим ее в уравнение (13.14):

.

Теперь воспользуемся известными тригонометрическими формулами для косинуса и синуса суммы двух углов:

Это уравнение представляет собой сумму двух гармонических слагаемых

а Cos wt + b Sin wt = 0.

Последнее равенство возможно в единственном случае, если постоянные во времени a и b равны нулю: а = 0, b = 0. Это означает, что справедливы следующие уравнения:

, (13.16)

. (13.17)

Эти два уравнения содержат только две неизвестные величины: амплитуду А и фазу a вынужденного колебания. Для отыскания амплитуды А можно домножить уравнение (13.16) на , а уравнение (13.17) — на Cosa. Вычтя теперь из первого уравнения второе, получим Sina:

,

. (13.18)

Воспользовавшись этим результатом в уравнении (13.17), найдем Cosa:

. (13.19)

Возведем уравнения (13.18) и (13.19) в квадрат и сложим:



Последнее уравнение решим относительно искомой амплитуды колебаний А:

. (13.20)

Фазовый сдвиг смещения x относительно возмущающего усилия F найдём непосредственно из уравнения (13.17):

. (13.21)

Обратимся к анализу полученных результатов.

1) Амплитуда вынужденных колебаний прямо пропорциональна амплитуде возмущающего усилия F0.

2) Если w = 0 — случай приложения статической нагрузки F0, смещение груза будет определяться жёсткостью пружины k:

.

3) При высоких частотах внешнего усилия (w→¥), амплитуда колебаний А→0.

4) Для отыскания частоты wрез, при которой амплитуда достигает наибольшего значения Арез, нужно найти минимум выражения, стоящего под корнем в знаменателе уравнения (13.20). Продифференцировав это выражение по w, и приравняв результат нулю, получим условие, определяющее wрез:

.

Отсюда следует, что резонансная частота wрез меньше частоты собственных незатухающих колебаний w0:

. (13.22)

Используя это значение в (13.20), рассчитаем резонансную амплитуду:

. (13.23)

5) Если вязкое сопротивление отсутствует, коэффициент затухания d = = 0 и резонансная амплитуда устремляется в бесконечность. При этом условии резонансная частота, как следует из (13.22), равна частоте собственных незатухающих колебаний осциллятора wрез = w0.

6) С увеличением коэффициента затухания d, резонансная частота и амплитуда колебаний уменьшаются.

Все эти закономерности графически представлены на рис. 13.4.

Рис. 13.4

7) При слабом затухании, когда , резонансная амплитуда равна

.

Разделим это выражение на — смещение под действием постоянной силы:

.

Таким образом, добротность осциллятора численно равна отношению резонансной амплитуды к смещению под действием постоянной силы.

 

8) На рис. 13.5 представлена зависимость фазового сдвига вынужденных колебаний и вынуждающей силы — график функции (13.21). С увеличением частоты вынуждающего усилия a растет, меняясь от 0 до p. В резонансе фазовый сдвиг равен . Эта зависимость a = a(w) меняется с изменением коэффициента затухания.

Рис. 13.5

Лекция 14 «Элементы специальной теории относительности»

План лекции.

1. Постулаты специальной теории относительности. Преобразования Лоренца.

2. Динамика релятивистского движения.

3. Закон эквивалентности массы и энергии.

 

Альберт Эйнштейн
В классической механике Ньютона мы изучали законы движения макротел со скоростями, далекими от скорости света (с = 3 × 108 м/с). Такие движения называются нерелятивистскими (классическими), в отличие от релятивистских движений, скорость которых соизмерима со скоростью света. Теоретической основой релятивистской механики является специальная (частная) теория относительности (СТО). Предваряя рассмотрение основных положений этой теории, отметим два важных момента:

1) Релятивистская механика включает в себя и классическую механику как предельный случай движения с малыми скоростями.

2) Все положения СТО имеют сегодня надежное экспериментальное подтверждение.

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Собственные затухающие колебания | Постулаты специальной теории относительности. Преобразования Лоренца

Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 575; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Рекомендуемые страницы:

Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2021) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.007 сек.