Установление оптимальных условий измерения

Одной из задач теории измерений является установ­ление оптимальных, т. е. наиболее выгодных, условий из­мерений. Оптимальные условия измерений в данном экс­перименте имеют место при δ_np = δ_{np min.} Методика ре­шения этой задачи сводится к следующему. Если исследуется функция с одним неизвестным переменным, то вначале следует взять первую производную по х, при­равнять ее нулю и определить х₁. Если вторая производ­ная по х₁ положительна, то функция (15) в случае х = х₁ имеет минимум. При наличии нескольких пере­менных поступают аналогичным образом, но берут про­изводные по всем переменным x₁,...,x_n. В результате минимизации функций устанавливают оптимальную область измерений (интервал температур, напряжений, силы тока, угла поворота стрелки на приборе и т.д.) каждой функции f(x₁,...,x_n), при которой относительная ошибка измерений минимальна, т.е. δ_xi = min.

Таблица 4. Коэффициент для вычисления предельно допустимой ошибки

n	Значение q при рд
0,95	0,98	0,99	0,995
	15,56	38,97	77,96	779,7
	4,97	8,04	11,46	36,5
	3,56	5,08	6,58	14,46
	3,04	4,10	5,04	9,43
	2,78	3,64	4,36	7,41
	2,62	3,36	3,96	6,37
	2,51	3,18	3,71	5,73
	2,43	3,05	3,54	5,31
	2,37	2,96	3,41	5,01
	2,29	2,83	3,23	4,62
	2,24	2,74	3,12	4,37
	2,20	2,68	3,04	4,20
	2,17	2,64	3,00	4,07
	2,15	2,60	2,93	3,98

В исследованиях часто возникает вопрос о достовер­ности данных, полученных в опытах. Решение такой за­дачи можно проиллюстрировать примером.

Пусть установлена прочность контрольных образцов бетона до виброперемешивания R₁ = Ŕ₁± σ_o = 20 ± 0,5 МПа и прочность бетонных образцов после вибро­перемешивания R₂ =Ŕ₂ ± σ_o = 23 ± 0,6 МПа. Прирост прочности составляет 15%. Это упрочнение относитель­но небольшое, его можно отнести за счет разброса опыт­ных данных. В этом случае следует провести проверку на достоверность экспериментальных данных по условию

x/σ₁ ≥ 3. (21)

В данном случае проверяется разница x = R₁ - R₂ = 3,0 МПа. Ошибка измерения равна σ_o = (σ₁² - σ₂ ² )^1/2, поэтому

(R₁ – R₂) (σ₁² - σ₂ ² )^1/2 = 3,0/(0,25 + 0,36) = 3,84 > 3. (22)

Следовательно, полученный прирост прочности явля­ется достоверным. Выше были рассмотрены общие методы проверки экспериментальных измерений на точность и достовер­ность. Ответственные эксперименты должны быть прове­рены также и на воспроизводимость результатов, т. е. на их повторяемость в определенных пределах измерений с заданной доверительной достоверностью. Суть такой проверки сводится к следующему.

Таблица 5. Результаты измерений и их обработки

xi	xi - x	xi – x^1	(xi – x^1)^2
	- 8	—7,83
	- 8	—7,83
	- 7	—6,83
	- 7	—6,83
	- 6	—5,83
	- 5	—4,83
	- 4	—3,83
	- 2	—1,83
	-1	—0,83
		+0,17
	+1	+ 1,17
	+2	+2,17
	+3	+3,17
	+4	+4,17
	+5	+5,17
	+6	+6,17
	+7	+7,17
	+ 17	+17,27
x = =74,83	∑ =   = - 3	Проверка   - 46,5 +46,5	∑ =   =737

Имеется несколько па­раллельных опытов (серий). Для каждой серии вычис­ляют среднеарифметическое значение x₁ (n - число из­мерений в одной серии, принимаемое обычно равным 3...4). Далее вычисляют дисперсию D_i. Чтобы оценить воспроизводимость, рассчитывают критерий Кохрена (расчетный):

k_кр = maxD_i/∑D_i, (23)

где maxDi — наибольшее значение дисперсий из числа рассматриваемых параллельных серий m; ∑D_i сумма дисперсий m серий. Рекомендуется принимать 2≤ m ≤4. Опыты считают воспроизводимыми при

k_кр ≤ k_кт (24)

где k_кт табличное значение критерия Кохрена (табл.6), принимаемое в зависимости от доверительной ве­роятности р_д и числа степеней свободы q = n - 1. Здесь m число серий опытов; n - число измерений в серии.

Таблица 6. Таблица Кохрена К_кт при р_д = 0,95

m	q = n - 1
	0,99	0,97	0,93	0,90	0,87	0,85	0,81	0,78	0,73	0,66
	0,97	0,93	0,79	0,74	0,70	0,76	0,63	0,60	0,54	0,47
	0,90	0,76	0,68	0,62	0,59	0,56	0,51	0,48	0,43	0,36
	0,84	0,68	0,60	0,54	0,50	0,48	0,44	0,41	0,36	0,26
	0,78	0,61	0,53	0,48	0,44	0,42	0,38	0,35	0,31	0,25
	0,72	0,56	0,48	0,43	0,39	0,37	0,34	0,31	0,27	0,23
	0,68	0,51	0,43	0,39	0,36	0,33	0,30	0,28	0,24	0,20
	0,64	0,47	0,40	0,35	0,33	0,30	0,28	0,25	0,22	0,18
	0,60	0,44	0,37	0,33	0,30	0,28	0,25	0,23	0,20	0,16
	0,57	0,39	0,32	0,29	0,26	0,24	0,22	0,20	0,17	0,14
	0,47	0,33	0,27	0,24	0,22	0,20	0,18	0,17	0,14	0,11
	0,39	0,27	0,22	0,19	0,17	0,16	0,14	0,13	0,11	0,08
	0,34	0,29	0,19	0,16	0,15	0,14	0,12	0,11	0,09	0,07
	0,29	0,20	0,16	0,14	0,12	0,11	0,10	0,09	0,07	0,06
	0,24	0,16	0,12	0,10	0,09	0,08	0,07	0,07	0,06	0,04
	0,17	0,11	0,08	0,07	0,06	0,06	0,05	0,05	0,04	0,02
	0,09	0,06	0,04	0,04	0,03	0,03	0,02	0,02	0,02	0,01

M - число параллельных серий опытов; q - число степеней свободы; n - число измерений в серии.

Пусть, например, проведено три серии опытов по измерению ширины сварного шва при сварке в среде СО₂ (табл.7). В каждой серии выполнялось по пять измерений (повторностей). Тогда по формуле (23)

K_кр = 2,96/(2,96 + 2,0 + 0,4) = 0,55.

Вычислим число степеней свободы q = n – 1 = 5 - 1 = 4. Так, например, для т = 3 и q = 4 согласно табл.6 значение критерия Кохрена k_кт = 0,74. Так как 0,55 < 0,74, то измерения в эксперименте следует считать воспроиз водимыми. Если бы оказалось наоборот, т.е. k_кр > k_кт, то необходимо было бы увеличить число серий m или число измерений n.

Дата добавления: 2014-01-04