План лекции. 2.Комплексное число в алгебраической форме

Лекция

ТЕМА V –КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА.

1.Понятие комплексного числа.

2.Комплексное число в алгебраической форме.

3.Операции сложения и вычитания.

4.Комплексное число в тригонометрической форме.

5.Операции умножения, деления, возведения в натуральную степень, извлечение корня натуральной степени из комплексного числа в тригонометрической форме.

6. Показательная форма комплексного числа.

1.Решение уравнения показывает, что в множестве R уравнение решений не имеет. Возникает задача расширения множества R до такого множества, в котором это уравнение имеет решение. Существование взаимно однозначного соответствия между парами действительных чисел (a,b) и точками плоскости привело к идее введения такого расширения R, чтобы в нем выполнялась операция извлечения корня четной степени из отрицательного числа. Элементами этого нового множества считают пару чисел (a,b), , они изображается точками плоскости с их координатами. Пару таких чисел называют комплексным числом. Начало координат–число (0,0); число, противоположное числу - число

2.В построенном числовом множестве вводятся алгебраические операции. Сумма:( 1 ),произведение: (2), р азность: ( 3 ). Частное чисел и - это число такое, что выполняется: ,. После преобразований: ( 4). Числа и считаются равными, если ( понятий «больше» и «меньше» в построенном множестве не существует). Множество чисел вида (a,b) c операциями сложения, вычитания, умножения и деления называется множеством комплексных чисел К.

(a).Рассмотрим связь множеств R и K. С одной стороны: (5). С другой стороны ( 6), из (5) и (6): комплексное число (1,0) совпадает с действительным числом «1». (b).Точки вида - это точки оси ОХ: комплексное число - это действительное число «а». (с) Из определений операций: ,, т.е. операции с комплексными числами совпадают с операциями с действительными числами.(d). Оказывается, среди чисел К содержится корень уравнения , иначе, существует такое число «m», что : , при m =(0,1) имеем и число m =(0,1) – это точка оси OY. (е). Обозначим m=i: , ,(f) - точка оси OY. (g)Обозначив комплексное число (7) ( z=x+yi) - комплексное число z в алгебраической форме.

3.Число «i» - это мнимая единица, «yi» - мнимая часть, «х» - действительная часть числа «z». Пусть , тогда сумма и разность вычисляются: . Произведение и частное комплексных чисел проще вычислять в тригонометрической форме комплексных чисел.

Число называется обратным числу z. Свойства: [1]. .[2] .[3]. Если , то либо , либо .[4]. Если , то . Числа - сопряженные, и являются взаимно сопряженными. Действительное число х сопряжено самому себе: , если y = 0, z=х – действительное; число, сопряженное числу , если y=0, то . Сумма двух сопряженных чисел: .

4.Кроме алгебраической формы, комплексное число можно представить в тригонометрической форме. Каждую точку плоскости M(x;y) можно отождествить с комплексным числом . С другой стороны, точка M(x;y) характеризуется параметрами: (а) ее проекциями на оси OX и OY (числами x и y),(в) расстоянием r=|OM| точки M(x;y) до начала координат О (0;0), (с) углом между вектором и осью ОХ. Число r=|OM| =(9) - это модуль комплексного числа : . Угол - это аргумент числа (= арг z, - любые действительные значения), угол отсчитывается против часовой стрелки, если углы и отличаются друг от друга на , то соответствующие точки совпадают, поэтому аргумент комплексного числа принимает бесконечное множество значений, отличающиеся друг от друга на кратное число . Если два комплексных числа равны, то их модули равны (), а аргументы отличаются на целое число, кратное . Для числа z= 0: | z|=0, угол - не определен. Из геометрической интерпретации комплексного числа: , тогда (10). Подставив эти выражения в алгебраическую форму комплексного числа, получим: или (11) - тригонометрическая форма комплексного числа. Введение аргумента и модуля комплексного числа равносильно переходу от прямоугольной декартовой системы координат к полярной системе.

5.С комплексными числами в тригонометрической форме осуществляются операции умножения, деления, возведения в степень с натуральным показателем и извлечения корня любой степени с натуральным показателем.

Произведение чисел и : =(12). Например:

Деление =

(13) Пусть , тогда , , методом математической индукции доказывается: (14) - формула Муавра. Пусть надо извлечь корень натуральной степени n из комплексного числа : . Обозначим - это такое комплексное число, для которого выполняется:

, откуда , с другой стороны . У равных комплексных чисел равны и модули и аргументы, поэтому и ; равные аргументы могут отличаться друг от друга на число, кратное , поэтому .

(15), где - это формула для извлечения корня степени n из комплексного числа. Для к =0,1,2,… n -1 значения угла различны, начиная с к=n эти значения начинают повторяться. Все значения расположены на окружности радиуса с началом в точке О(0;0). Например, для корня из числа запишем формулу: . Вычислим значения для различных значений «к»:

(1). ;

(2) , ;

(3) ; ;

(4) ;;

(5) ; =

==

=- корни начинают повторяться.

6.Cуществует показательная форма записи комплексного числа. Считаем по определению (*), тогда если , то - это комплексное число, записанное в показательной форме. Для проверки правомерности этого осуществим операции умножения, деления, возведения в натуральную степень комплексного числа z в тригонометрической и показательной формах и сравним результаты. Пусть числа заданы в тригонометрической и в показательной формах:

Умножение:(а) и (в). Сравним (а) и (в): левые части равны, следовательно равны и правые части:

= , или = (16), формула (*) действительно задает комплексное число. Для деления двух комплексных чисел в показательной форме имеем формулу (17); для возведения комплексного числа в натуральную степень - (18).

Дата добавления: 2014-01-04