Формула Ньютона-Лейбница

Основные свойства определенного интеграла

План лекции

ТЕМА XI. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛЫ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.

Лекция (3 часа)

1.Первообразная функция и неопределенный интеграл

2.Свойства неопределенного интеграла

3. Таблица основных интегралов.

4. Общие методы интегрирования (непосредственное интегрирование с помощью таблиц, замена переменной, интегрирование по частям).

5.Интегрирование тригонометрических функций.

6.Понятие определенного интеграла.

8.Определенный интеграл с переменным верхним пределом.

10.Методы вычисления определенного интеграла.

11.Понятие несобственного интеграла.

1.Для операции дифференцирования существует обратная операция – отыскание функции по её заданной производной: операция интегрирования. К нахождению функции по её заданной производной приводят многие задачи физики, химии и др. Первообразная функция для заданной функции f(x) на заданном промежутке – это функция F(x) такая, что на этом промежутке . Например, функция - первообразная для функции (для любого : ). Вместе с функцией первообразными для функции являются и функции (функции вида , где С –произвольная постоянная), функция, имеющая одну первообразную, имеет бесконечное множество первообразных. Теорема1. Если функция F(x) является первообразной для функции f(x) на некотором промежутке, то множество всех первообразных для функции f(x) задаётся формулой , (1), из (1): если известна первообразная F(x) для функции f(x), то все множество первообразных для f(x) исчерпывается функциями вида F(x)+C. Операция дифференцирования однозначна, поэтому первообразная для функции f(x) определяется с точностью до постоянной, выражение F(x)+C приобретает определенный смысл. Неопределенный интеграл от функции f(x) - это совокупность всех первообразных функций для функции f(x) вида F(x)+C, F(x) – первообразная для функции f(x), С - произвольная постоянная: (2), при . В формуле (2): f(x) – подинтегральная функция; f(x)dx – подинтегральное выражение; х - переменная интегрирования; - символ интеграла. Если функция f(x) непрерывна на промежутке [ a,b ], то на [ a,b ] у функции f(x) существует первообразная. Нахождение функции по её производной (или дифференциалу) - это интегрирование. Правильность интегрирования проверяется дифференцированием. Например, , так как .

2. Свойства: [1].;[2].;

[3]. (из [2],[3]: при совместных операциях дифференцирования и интегрирования символы дифференциала и интеграла уничтожаются). [4]. ; [5]..

3.На основе таблицы производных составлена таблица основных интегралов:

4. Общие методы интегрирования:(а) Непосредственное интегрирование с использованием таблиц связан с приведением подинтегрального выражения к табличной форме путем элементарных преобразований выражений и использованием свойств неопределенного интеграла. Например,

=(проверить правильность результата интегрирования можно дифференцированием). (б) Метод замены переменной интегрирования - это упрощение интеграла введением новой переменной «t», считая переменную «х» функцией от «t»:(а). Тогда , дифференцируем (а) по переменной «х»: и подставляем:(3) –формула замены переменной в неопределенном интеграле. В конце реешния необходимо вернуться к первоначальной переменной «х» по формуле . Например, в обозначим 5х=t, тогда 5dx=dt, и В : и

(в). Метод интегрирования по частям. Для произведения функций переменной «х» (U=U(x), V=V(x)) найдем дифференциал произведения: , d(UV)=UdV+VdU, откуда UdV=d(UV)-VdU. Интегрируем обе части: ,(4) - это формула вычисления интеграла по частям: под знаком интеграла выделяются два сомножителя, один из которых - функция (U), второй - дифференциал некоторой другой функции (V), новое выражение VdU чаще вычисляется значительно проще. Например, в интегралев подинтегральном выражении обозначим:

Полученные выражения подставляем в формулу (4):

=

5.. Интеграл вида сводится к интегралу от рациональной функции подстановкой , подстановка универсальна, она сводит данный интеграл к интегралу от рациональной функции по переменной «t» с помощью формул:

(а)

(b)

(с) если то

Если подинтегральное выражение является функцией только от sinx;cosx, тогда Например, в интеграле положим и по приведенным формулам имеем: .

Если функции y = sinx и y = cosx входят в выражение подинтегральной функции только в четных степенях, то используется подстановка t=tgx:

а)

b)

c)

Тогда Например, в интеграле обозначим tgx=t, тогда и

Если в интеграле хотя бы одно из чисел m или n

нечетное, то используют подстановку sinx=t или cosx=t. Например, в интеграле обозначим cosx=t; тогда dt=-sinxdx, и

При вычислении интегралов вида используют тригонометрические формулы: d)

e)

f) Например,

=

Замечание. Не у всякой элементарной функции первообразная функция также является элементарной. В случае, если первообразная некоторой элементарной функции f(x) тоже является элементарной функцией, говорят, что интеграл вычисляется в элементарных функциях, или «берется». Если же интеграл не выражается в элементарных функциях, то говорят, что этот интеграл не «берется». К таким «неберущимся» интегралам относятся, например, интегралы вида и другие. У этих подинтегральных функций первообразные существуют, но они не выражаются в элементарных функциях.

6. Если функция , , тогда плоская фигура, ограниченная графиком функции y=f(x), осью ОХ и прямыми х=а, х=b – это криволинейная трапеция aABb, (см.рис.1). Для вычисления площади трапеции aABb разобьем основание трапеции [ a,b ] на «n» частичных промежутков точками .

Рис.1

Длины промежутков в общем случае различны, обозначим наибольшую из длин через «m»: . На каждом промежутке выберем произвольную точку Произведение является числом, равным площади прямоугольника, построенного на основании с высотой , а сумма площадей прямоугольников () приближенно выражаетплощадь криволинейной трапеции aABb. Если разбивать отрезок [ a; b ] на «n» отрезков произвольной длины так, что наибольшая из длин отрезков стремится к нулю при , то построенная сумма точнее будет выражать площадь криволинейной трапеции. Тогда за площадь криволинейной трапеции можно принять предел, к которому стремится сумма площадей построенных прямоугольников: (1). Определенный интеграл от функции f(x) на отрезке [ a;b ] - это предел , если он существует, и не зависит от способа разбиения отрезка [ a;b ] на промежутки и выбора точек : (2). Функция f(x) - подинтегральная функциея, интегрируемая на отрезке [ a;b ], f(x)dx - подинтегральное выражение, числа «a» и «b» - пределы интегрирования (а – нижний предел, b – верхний предел). Сумма - это интегральная сумма. Необходимым условием интегрируемости функции на отрезке является ограниченность функции на отрезке. Если функция непрерывна на промежутке [ a;b ], то она интегрируема на нем.

7. С войства: [1]. По определению полагают:(3).[2].Для любого действительного числа «р»: . [3]. (4).[4]. Если функция f(x) интегрируема на [ a;b ], то (5), где [5]. (6).[6]. Если функции f(x) и g(x) интегрируемы на [ a;b ] и , то выполняется: .[7]. Если на [ a;b ] выполняется неравенство (m и M –константы), то . (Справедливость [7] следует из [2] и [6]). [8]. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [ a;b ], то существует точка что (7): (7) при означает: площадь криволинейной трапеции аАBb равна площади прямоугольника с основанием [ a;b ] и высотой, равной f (x).

8. Непрерывная на промежутке [ a;b ] функция f(x) интегрируема на этом промежутке, в том числе и на любом промежутке [ a;x ], где Функция , (8) - интеграл с переменным верхним пределом (в (8) переменная интегрирования обозначена через «t», так как буквой «х» обозначен верхний предел интеграла); этот верхний предел интегрирования является независимой переменной, аргументом функции . Теорема. Если функция f(x) непрерывна на промежутке [ a;b ], то функция имеет производную на промежутке [ a;b ]: или (9) - производная определенного интеграла с переменным верхним пределом по этому пределу равна значению подинтегральной функции для этого предела, например,

9.Если функция f(x) непрерывна на отрезке [ a;b ] и F(x) – первообразная функция для f(x) на [ a;b ], то (10), (11); (10),(11) - это формулы Ньютона-Лейбница, они позволяют вычислять определенные интегралы, если известна хотя бы одна первообразная подинтегральной функции.

10. Для вычисления определенного интеграла применяются те же методы, что и для вычисления неопределенного интеграла:(а) по таблицам: например,

=или

( б). Замена переменной: особенностью вычисления определенного интеграла методом замены переменной является то, что при переходе к новой переменной в интеграле обязательно изменяются пределы интегрирования на новые значения, соответствующие законам изменения новой переменной. Например, в интеграле обозначим t=2x, dt=2dх, Пределы у новой переменной интегрирования будут иными: если х =0, то t =0; если то ; новый интеграл

(в). Формула интегрирования по частям для вычисления определенного интеграла трансформируется в формулу: (12). Например, в интегралеобозначим:и

11. Определенный интеграл вычисляется на промежутке [ a,b ], в результате получаем число, такие интегралы называются «собственными». На практике встречаются задачи, в которых один или оба предела интегрирования оказываются бесконечными. Если хотя бы один из пределов интегрирования бесконечный, то интеграл - «несобственный». Если функция f(x) непрерывна на полуинтервале [a,+), то по определению полагают: (13) - несобственный интеграл. Если предел (13) существует, интеграл сходится, если предела не существует - интеграл - расходится, ему не приписывают значений. Геометрически для функции на полуинтервале несобственный интеграл (13) представляет собой площадь фигуры, ограниченной сверху графиком функции f(x),снизу – осью ОХ, слева отрезком прямой х=а, справа – геометрическая фигура - неограничена. На несобственные интегралы вида распространяется ряд свойств определенных интегралов. Если интеграл (13) сходится и для его подинтегральной функции существует первообразная функция F(x),тогда из формулы Ньютона – Лейбница имеем: или (14). Обозначив , получим обобщенную формулу Ньютона – Лейбница:(15). Несобственный интеграл вводится также и на полуинтервале : (16) и . Несобственный интеграл от f(x), заданной на всей числовой оси, можно вычислить на основании свойства [4]: (17). например, интеграл сходится или - интеграл расходится.

Дата добавления: 2014-01-04