План лекции. 1.Закон биномиального распределения дискретной случайной величины

ТЕМА 17. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН.

Лекция (3 часа)

1.Закон биномиального распределения дискретной случайной величины.

2.Закон Пуассона. Числовые характеристики биномиального распределения.

3.Интегральная функция распределения.

4.Дифференциальная функция распределения (плотность вероятности).

5.Закон равномерного распределения.

6.Числовые характеристики непрерывных случайных величин.

7.Числовые характеристики непрерывной, равномерно распределенной случайной величины.

8.Закон нормального распределения.

9. Асимметрия и эксцесс нормального распределения случайной величины.

10. Функция Лапласа.

1.Дискретная случайная величина задается с помощью таблицы. При повторяющихся испытаниях таблица для вычисления вероятности того, что в серии из «n» испытаний событие А осуществится «m» раз используется формула И.Бернулли: (см. выше). В каждом из «n» независимых испытаний событие А наступает с вероятностью Р(А)=р. Если Х – случайная величина, принимающая значения, равные числу появлений события А в «n» испытаниях, то: событие А может либо вообще не произойти (m =0), либо произойти 1 раз (m =1), либо 2 раза (m=2) (возможные значения случайной величины Х - это m =0, m =1, … m=n). По формуле И.Бернулли: вероятность непоявления события А: вероятность появления 1-го события А- и т.д., вероятность появления события А «n» раз -, закон биномиального распределения дискретной случайной величины сводится в таблицу (табл.1):

Х (число появлений событий)					………………………	n
Р (вероятность появления события)					………………………

Табл.1

2.Если в распределении дискретной случайной величины число испытаний достаточно велико, а вероятность (р) появления события в каждом испытании очень мала, то используют приближенную формулу Пуассона: (1), где «m» - число появлений события в каждом из «n» испытаний, - среднее число появлений события в «n» испытаниях. Например, если в партии в 1000 лампочек вероятность повреждения лампочки при перевозке р=0,001, тогда вероятность того, что при перевозке будет повреждено 5 лампочек, равна: .

Биномиальное распределение обладает характеристиками М(Х),D(X),.

Величина (появление события А в каждом испытании) - величина случайная (событие А может либо появиться в испытании, либо не появиться), она распределена по закону (табл.2):

	p	q

Табл.2

В таблице (2): р - вероятность появления события А, q - вероятность непоявления события А (вероятность появления ), тогда Общее число Х появлений события А во всех «n» испытаниях , для М(Х): , М(Х)=np (2). Величина распределена по закону (табл.3):

	p	q

Табл.3

, для дисперсии , и для D(X) имеем , D(X)=npq (3). Среднее квадратическое отклонение: (4).

3.Задать закон распределения непрерывной случайной величины таблицей нельзя, необходимы другие способы. Этими способами являются построения различных функций распределения вероятностей случайной величины. Пусть Х – непрерывная случайная величина, принимающая значения из некоторого промежутка: . Выражение Х<х означает, что величина Х приняла значение, меньшее числа «х»; вероятность этого обозначается через F(x). Если число «х» изменяется, то изменяется и Х, F(x) является функцией от «х».

Интегральный закон распределения непрерывной случайной величины Х - это функция F(x), определяющая вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньшее х: F(x)=P(X<x) (5), x(a;b). Свойства: [1]. (6) (так как F(x) – вероятность). [2]. F(x) – функция неубывающая.

[3]. (7). Например, случайная величина Х задана функцией распределения: F(x)=

Найти вероятность того, что случайная величина Х попадет в полуинтервал [1;0): 1)[-1;0)(-2;1], 2). . [4]. Вероятность того, что случайная величина Х примет одно, вполне определённое значение, равна нулю: (8). [5]. Если возможные значения непрерывной случайной величины расположены на всей числовой прямой, то справедливо: (9), (10).

[6]. (11) - вероятность попадания случайной величины в один из заданных промежутков – одинакова.[7].Если то при при (12).

4.Непрерывную случайную величину можно задать функцией плотности вероятности или дифференциальной функцией распределения. Плотность вероятности непрерывной случайной величины Х – это функция f(x), удовлетворяющая свойству f(x)= (13). Иначе: дифференциальная функция распределения равна первой производной интегральной функции распределения. При известной плотности распределения можно вычислить вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащее заданному интервалу. Вычисление основано на теореме (Теорема 1). ( 14 ). Например, если плотность вероятности случайной величины Х: то вероятность того, что величина Х примет значение из интервала : 1). , на этом интервале f(x)=4x; 2). При известной плотности вероятности f(x) интегральная функция распределения F(x): - интеграл с переменным верхним пределом, он является также функцией от «х». Действительно: 1). Если X<x, то () и ; 2) при обозначениях , x=b: .

Например, при заданной плотности вероятности

интегральная функция распределения F(x) вычисляется:

1). Если , то f(x)=0 (по условию), откуда ;

2). Если , то f(x)=, , ;

3). Если x>b, то

, .

Свойства. [1]. (15).[2]. Если f(x) – плотность вероятности, то . (16). [3]. (17) (вероятность того, что случайная величина Х примет значение из интервала приближенно равна произведению плотности вероятности f(x) в точке «х» на длину интервала ).

5. Равномерное распределение непрерывной случайной величины Х, принимающей свои значения из отрезка [ a,b ], это распределение, удовлетворяющее условиям: 1) плотность вероятности величины Х на отрезке [ a;b ] - постоянна: f(x)=c, 2) плотность вероятности величины Х вне отрезка [ a;b ] равна нулю: (18).

Для вычисления значения «с» числовую ось разобьём точками «a» и «b» на три интервала:

1)

; 2) для плотности вероятности: с одной стороны:(а); с другой стороны:(б) (по свойствам плотности вероятности); 3) из (а) и (б): c(b-a)=1 или (19). Поэтому, если , то , если x<a или x>b, то f(x)= 0.

Например, если значения случайной величины Х равномерно распределены на отрезке [1;9], то вероятность того, что величина Х попадет в промежуток (2;6) вычисляется: 1) по определению плотности вероятности , где 2) то есть, вероятность того, что данная величина, распределенная равномерно, попадет в промежуток (2;6) равна 50%. Для равномерно распределенной непрерывной случайной величины Х интегральная функция F(x) распределения вычисляется:

(20).

6. Непрерывная случайная величина Х, как и дискретная, обладает числовыми характеристиками: M(X);D(X);. Пусть непрерывная случайная величина Х задана плотностью распределения вероятностей f(x) и все возможные значения величины Х принадлежат отрезку [ a;b ]. Разобьём отрезок [ a;b ] на «n» частичных промежутков длиной , в каждом промежутке выберем произвольную точку Для вычисления М(Х) непрерывной случайной величины, составим сумму произведений возможных значений величины на вероятности их попадания в промежуток . Вероятность попадания величины Х в интервал - это произведение (см.выше), для вероятность попадания в него значения равна , искомая сумма таких произведений – . Перейдя к пределу при получим определенный интеграл Математическое ожидание непрерывной случайной величины Х, значения которой : (21). Если возможные значения , то (22). (b). Дисперсия непрерывной случайной величины Х –(математическое ожидание квадрата её отклонения): (23), где f(x)dx – вероятность попадания возможного значения случайной величины х в промежуток [ a;b ], М(Х) – математическое ожидание (ниже введем обозначение: М(х)=а). Если , то (24).

(с). Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины –это квадратный корень из её дисперсии: (25). Свойства математического ожидания и дисперсии непрерывной случайной величины аналогичны свойствам этих характеристик дискретной случайной величины.

Кроме этого, для вычисления дисперсии можно вывести более удобные формулы: (26). Например,

для случайной непрерывной величины Х, заданной плотностью вероятности вычисляются:

1) 2);

7. Если непрерывная случайная величина Х распределена равномерно, плотность вероятности , то: 1), (27);

;(28). Например, на отрезке [ А;В ], где А(а),В(b) фиксируют точку Р; какова вероятность того, что точка Р попадает в крайний левый промежуток, если [ А;В ] разделен на 4 равные части? 1) Серединой отрезка [ АВ ] является точка N(середина отрезка [ AN ] – точка искомый промежуток–вероятность: =25%.(b).Например, на каком промежутке равномерно распределена случайная величина Y=2X+4, если случайная величина Х равномерно распределена на промежутке [3;7]? Левый конец промежутка распределения величины Х – число 3, для величины Y левый конец – число y=2.3+4=10; для правого конца: если х=7, то y=2.7+4=18, промежуток равномерного распределения величины Y: [10;18].

8. Закон нормального распределения непрерывной случайной величины - это закон, для которого плотность вероятности f(x) выражается формулой: (29). Из (29): нормальное распределение определяется двумя параметрами: «а» и «»(докаазно, что этими параметрами являются а=М(Х), =). График функции вида - это кривая Гаусса (см.рис. 1)

Рис. 1

Свойства кривой нормального распределения.

[1]. В нормальном распределении показатель степени не , а , поэтому кривая Гаусса имеет ту же форму, но сдвинута на а единиц по оси Ох (a=M(X)). Изменение параметра «а» (математического ожидания) не изменяет формы нормальной кривой, а приводит к сдвигу кривой вдоль оси Ох: вправо при а>0, и влево при а<0, (см. рис. 2)

Рис. 2

[2].(30): функция f(x) нормального распределения вероятностей случайной величины X при x=a имеет максимум () (рис. 2), (30) показывает, что с возрастанием параметра «» ордината нормальной кривой убывает, сама кривая становится более пологой (сжимается к оси Ох); при убывании «» нормальная кривая становится более острой. [3]. f(x)>0 – всегда. [4]. При любых значениях параметров «а» и «» площадь, ограниченная нормальной кривой и осью Ох, остается равной единице, что следует из свойства плотности распределения (п.3, [2]: ).

9. Законом распределения, которым описываются все массовые явления природы и общества, является нормальный закон. При изучении распределений, отличных от нормального, возникает необходимость оценки отличия изучаемого распределения от нормального. Для этой оценки вводятся характеристики: асимметрия и эксцесс. Из примеров ясно, что из двух величин М(Х) и вторая величина значительно превышает первую. Переход от величины М(Х) к позволяет лучше учесть влияние на М(Х) того возможного значения, которое велико и имеет малую вероятность. Асимметрия вы- числяется по формуле (31), где . Очевидно, что у нормального распределения отклонения () достаточно малы, тем более малы третьи степени этих отклонений, поэтому асимметрия распределения характеризует нормальное распределение, если А достаточно малая величина (в идеале А =0). Эксцесс теоретического распределения –это характеристика (32). Если эксцесс отличен от нуля, то кривая распределения отличается от нормальной кривой. Практически, если для неизвестного распределения подсчитанные величины асимметрии и эксцесса достаточно близки к 0, то неизвестное распределение можно считать нормальным.

3. Если закон распределения случайной величины Х задан плотностью вероятности f(x), то (5) (это вероятность того, что Х примет значение из промежутка ). Если же случайная величина Х распределена по нормальному закону, то вероятность её попадания в промежуток : (33). Интеграл вида не выражается через известные элементарные функции, но определенный интеграл в некоторых пределах теми или иными приближенными методами может быть вычислен с определенной степенью точности. Такие вычисления могут быть, например, произведены интегрированием степенного ряда. Другим методом вычисления интеграла такого вида является введение функции Лапласа (интеграла вероятностей): (34), для нахождения значений функции составлена таблица ее значений для различных значений переменной. Свойства функции Лапласа: [1]. Ф(0)=0 (35). [2]. Ф(х) – функция нечетная.

Используя функцию Лапласа и формулу Ньютона–Лейбница, после соответствующих преобразований получаем формулу для вычисления вероятности того, что Х примет значение из промежутка :

(36), (a=M(X)),(- промежуток распределения случайной величины Х). Например, случайная величина Х распределена по нормальному закону с параметрами а =30 и =10, вычислим вероятность того, что Х примет значение из интервала (20;40):

Р (20< X< 40)= Ф - Ф = Ф (1)- Ф (-1)= Ф( 1)+ Ф (1)=2 Ф (1),

по таблице функции Лапласа Ф (1)=0,3413, 2 Ф (1)=0,6826 и .

Дата добавления: 2014-01-04