Общая характеристика метода статистического моделирования

СТАТИСТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ НА ЭВМ

Сущность метода статистического моделирования. На этапе исследования и проектирования систем при построении и реализации машинных моделей (аналитических и имитационных) широко используется метод статистических испытаний (Монте-Карло), который базируется на использовании случайных чисел, т.е. возможных значений некоторой случайной величины с заданным распределением вероятностей.

Сущность метода статистического моделирования сводится к построению для процесса функционирования исследуемой системы S некоторого моделирующего алгоритма, имитирующего поведение и взаимодействие элементов системы с учётом случайных входных воздействий и воздействий внешней среды Е, и реализации этого алгоритма с использованием программно-технических средств ЭВМ.

Различают две области применения метода статистического моделирования:

· для изучения стохастических систем;

· для решения детерминированных задач.

Основной идеей, которая используется для решения детерминированных задач методом статистического моделирования, является замена детерминированной задачи эквивалентной схемой некоторой стохастической системы, выходные характеристики последней совпадают с результатом решения детерминированной задачи.

В результате статистического моделирования системы S получается серия частных значений искомых величин или функций, статистическая обработка которых позволяет получить сведения о поведении реального объекта или процесса в произвольные моменты времени.

Теоретической основой метода статистического моделирования систем на ЭВМ являются предельные теоремы теории вероятностей [2, 13]. Множества случайных явлений (событий, величин) подчиняются определенным закономерностям, позволяющим не только прогнозировать их поведение, но и количественно оценить некоторые средние их характеристики, проявляющие определенную устойчивость. Принципиальное значение предельных теорем состоит в том, что они гарантируют высокое качество статистических оценок при весьма большом числе испытаний (реализаций) N.

Неравенство Чебышева. Для неотрицательной функции g (x) случайной величены x и любого К > 0 выполняется неравенство

P { g (x) ³ K } £ M [ g (x)] / K. (4.1)

В частности, если g (x) = (x – ` x)<sup>2</sup> и K = k <sup>2</sup>s<sup>2</sup>, где ` x – среднее арифметическое; s – среднее квадратичное отключение, то

P {½ x – ` x ½ ³ k s} £ 1/ k ². (4.2)

Теорема Бернулли. Если проводится N независимых испытаний, в каждом из которых некоторое событие А осуществляется с вероятностью p, то относительная частота появления события m / N при N ® ¥ сходится по вероятности к p, т.е. при любом e > 0

{½ m / N – p ½ ³ e} = 0, (4.3)

где m – число положительных исходов испытания.

Теорема Пуассона. Если проводится N независимых испытаний и вероятность осуществления события А в i -м испытании равна p_i, то относительная частота появления события m / N при N ® ¥ сходится по вероятности к среднему из вероятностей p_i, т.е. при любом e > 0

{ê m / N – ê ³ e} = 0. (4.4)

Теорема Чебышева. Если в N независимых испытаниях наблюдаются значения х ₁,..., x_N случайной величены x, то при N ® ¥ среднее арифметическое значений случайной величины сходится по вероятности к ее математическому ожиданию a, т.е. при любом e >0

{êê ³ e} = 0. (4.5)

Обобщенная теорема Чебышева. Если x₁,..., x _N – независимые случайные величины с математическими ожиданиями a ₁,..., a_N и дисперсиями s₁²,..., s² _N, ограниченными сверху одним и тем же числом, то при N ® ¥ среднее арифметическое значений случайной величины сходится по вероятности к среднему арифметическому их математических ожиданий:

{êê ³ e} = 0. (4.6)

Теорема Маркова. Выражение (4.6) справедливо и для зависимых случайных величин x₁,..., x _N, если только

= 0.

Совокупность теорем, устанавливающих устойчивость средних показателей, принято называть законом больших чисел.

Центральная предельная теорема. Если x₁,..., x _N – независимые одинаково распределенные случайные величины, имеющие математическое ожидание a и дисперсию s², то при N ® ¥ закон распределения суммы неограниченно приближается к нормальному:

{a < (- Na) / < b} = = Ф₀(b) – Ф₀(a).

Здесь интеграл вероятностей

Ф₀(g) = .

Теорема Лапласа. Если в каждом из N независимых испытаний событие А появляется с вероятностью р, то

{ α < (m – Np) / < β } = Ф₀(β) – Ф₀(α),

где m – число появлений события А в N испытаниях. Теорема Лапласа является частным случаем центральной предельной теоремы.

Примеры статистического использования. Статистическое моделирование систем на ЭВМ требует формирования значений случайных величин, что реализуется с помощью датчиков (генераторов) случайных чисел. Рассмотрим сущность метода статистического моделирования на примерах.

Пример 4.1. Необходимо методом статистического моделирования найти оценки выходных характеристик некоторой стохастической
системы S_R, функционирование которой описывается следующими соотношениями: x = 1 – e^{- λ} - входное воздействие, v = 1 – e^-φ – воздействие внешней среды, где λ и φ – случайные величины, для которых известны их функции распределения. Целью моделирования является оценка математического ожидания М [ y ] величины у. Зависимость последней от входного воздействия х и воздействия внешней среды v имеет вид:
у = .

В качестве оценки математического ожидания М [ y ], как следует из приведенных теорем теории вероятностей, может выступать среднее арифметическое, вычисленное по формуле

,

где у_i – случайное значение величины у; N – число реализаций, необходимое для статистической устойчивости результатов.

Дата добавления: 2014-01-04