Момент силы

Лекция 7

Моментом силы относительно точки О называется вектор М, модуль которого равен произведению модуля силы на ее плечо l:

М=Fl=Fr sina (7.1)

(рис. 7.1). Плечом силы называют длину перпендикуляра, опущенного из точки О на прямую, вдоль которой действует сила. Направлен вектор М перпендикулярно к плоскости, в которой лежат сила и точка О, причем так, что направление вращения, обусловленного силой, и направление вектора М образуют правовинтовую систему (поворот головки винта или шурупа с правой нарезкой в направлении силы вызвал бы перемещение винта в направлении вектора М). Поскольку его направление определяется условно, М является псевдовектором.

На рис. 7.1 вектор М изображен в виде кружка с крестиком внутри. Так мы будем в дальнейшем обозначать векторы, перпендикулярные к плоскости чертежа и направленные «от нас». Векторы, перпендикулярные к плоскости чертежа и направленные «на нас», мы будем обозначать кружком с точкой внутри него.

Момент силы можно представить в виде векторного произведения радиус –вектора r точки приложения силы на силу F.

М =[ rF ] (7.2)

Здесь r – радиус-вектор точки приложения силы, проведенной из точки, относительно которой определяется момент.

Когда сила приложена к одной из точек твердого тела, вектор М характеризует способность силы вращать тело вокруг точки О, относительно которой он берется. Поэтому момент силы называют также вращающим моментом. Если тело может вращаться вокруг точки О произвольным образом, то под действием силы тело повернется вокруг оси, совпадающей с направлением вращающего момента.

Проекция вектора М на произвольную ось z, проходящую через точку О, называется моментом силы относительно этой оси:

М_z=[ rF ]_пр.z. (7.3)

Разложим силу F на три составляющие, как показано на рис. 7.2. Воспользовавщись дистрибутивностью векторного произведения, представим момент силы F относительно точки О в виде

М =[ r, (F _II+ F _^+ F _i)]=[ rF _II]+[ rF _^]+[ rF _i]= M _II+ M _^+ M _i,

где М _II – момент силы F _II и т.д.

Проекция на ось z вектора М равна сумме проекций моментов составляющих сил. Моменты М _II и М _^ перпендикулярны к оси z, поэтому их проекции равны нулю. Следовательно,

М_z=(М_i)_пр.z=М_i cosa=rF_i cosa=RF_i (7.4)

(Рис. 7.2)

Из трех составляющих силы F вращение вокруг оси z может вызвать только сила F_i, причем она тем успешнее осуществит этот поворот, чем больше ее плечо R относительно точки О^I. Таким образом, момент силы относительно оси характеризует способность силы вращать тело вокруг этой оси.

Две равные по модулю противоположно направленные силы, не действующие вдоль одной прямой, называют парой сил (рис.7.3). Расстояние l между прямыми, вдоль которых действуют силы, называется плечом пары. Суммарный момент сил относительно точки О равен

М =[ r₁F₁ ]+[ r₂F₂ ].

Учтя, что F ₂=- F ₁, можно написать

М =[ r₁F₁ ]-[ r₂F₁ ]=[(r ₁- r ₂), F ₁]=[ r ₁₂ F ₁] (7.5)

где r ₂₁= r ₁- r ₂ (рис.7.3). Полученное выражение не зависит от положения точки О, следовательно, момент пары сил относительно любой точки будет одним и тем же. Вектор М перпендикулярен к плоскости, в которой лежат силы, а его модуль равен произведения модуля любой из сил на плечо.

Силы гравитационного и кулоновского взаимодействия между двумя частицами образуют пару с плечом, равным нулю. Поэтому их суммарный момент относительно любой точки равен нулю. Отсюда следует, что моменты внутренних сил попарно уравновешивают друг друга, и сумма моментов всех внутренних сил для любой системы частиц всегда равна нулю:

(7.6)

Соответственно равен нулю и суммарный момент относительно любой оси z:

. (7.7)

Дата добавления: 2014-01-04