Лекция 14

Глава 6. Электромагнитные колебания и волны.

6.1.Колебательный контур.

Электромагнитные колебания возникают в контуре с катушкой с индуктивностью L и конденсатором электроемкостью C (рис.6.1).

Рис.6.1

При отключении источника переменного тока в контуре возникают свободные колебания электрической и магнитной энергии.

Этот случай подобен математическому маятнику, где потенциальная энергия переходит в кинетическую.

Если в колебательный контур включить активное сопротивление, то электромагнитные колебания будут затухать из-за потери энергии в виде тепла. Электромагнитные колебания будут вынужденными, если колебательный контур содержит источник переменной ЭДС ε(t).

6.2. Уравнение электромагнитных колебаний

Согласно закону Кирхгофа для замкнутой цепи рис.6.1(сумма всех ЭДС в контуре равна сумме всех падений напряжений)

(6.1)

Учитывая, что , , , запишем равенство (6.1) в виде:

,

, (6.2)

где q – заряд конденсатора, I – ток в контуре.

Дифференциальное уравнение (6.2) определяет вынужденные электромагнитные колебания в контуре и подобно вынужденным механическим колебаниям ()

Решением дифференциального уравнения будет

(6.3)

где q₀(ω)-амплитуда колебания заряда, ω-частота колебаний ЭДС источника тока, φ - сдвиг фаз между колебаниями ЭДС и заряда.

6.3. Свободные электромагнитные колебания

Если в колебательном контуре отсутствует источник переменного тока, то уравнение колебаний имеет вид

. (6.4)

Решением этого дифференциального уравнения

,

где амплитуда колебаний заряда, А – его начальное максимальное значение при t=0, - коэффициент затухания, - частота собственных колебаний контура при R=0, - частота затухающих колебаний контура, - начальная фаза.

Уравнение для тока

,

а решение его

, (6.5)

где , , - начальное значение тока при t=0.

С учетом значений начальных фаз, запишем

(6.6)

.

Зависимости заряда и тока от времени приведены на рис 6.2.

Рис. 6.2.

Ток I достигает экстремального значения в тот момент, когда заряд конденсатора q равен нулю (). При уменьшении тока в катушке возникает ток, который в интервале времени от t, до перезаряжает конденсатор.

Причина затухания колебаний заряда, тока в колебательном контуре –

постепенное растрачивание энергии контура на нагревание резистора R. Первоначально вся энергия была сосредоточена в лектрическом поле

конденсатора (t=0). При разряде конденсатора и прохождении тока I через катушку в ней возникает магнитное поле. В результате возникает «перекачка» энергии электрического поля конденсатора

в энергию магнитного поля катушки L (от момента t=0 до момента t₁). При этом часть энергии теряется на джоулево тепло в резисторе R. В интервале времени от t₁ и t₂ идет обратные процесс «перекачки» энергии магнитного поля катушки в энергию электрического поля конденсатора и т.д. При этом энергия постоянно теряется на нагрев резистора.

Рассмотрим два частных случая:

1.Активное сопротивление колебательного контура R=0, .

Тогда

(6.7)

где A-амплитуда колебания (рис. 6.3)

Рис 6.3

Колебания в соответствие с уравнением (6.4) называются собственными колебаниями контура LC, в котором постоянно происходит "перекачка" в равном количестве энергии электрического поля конденсатора в энергию магнитного поля катушки и наоборот.

2.Активное сопротивление при .

Тогда

,

колебания отсутствуют, а амплитуда заряда уменьшается с увеличением t по экспотенциальному закону.(рис 6.4)

Рис. 6.4

6.4. Вынужденные электромагнитные колебания, резонанс.

Вынужденные электромагнитные колебания происходят при включении в колебательный контур переменной ЭДС (см. дифференциальное уравнение 6.2).

Из решения уравнения (6.3) следует, что амплитуда колебания ЭДС

,

При этом ток

I(t)=,

где амплитуда

(6.8)

Начальная фаза (6.9)

Амплитуда I₀ зависит от частоты ω и принимает максимальное значение

при

Частота колебаний, ω при которой выполняется последнее равенство называется резонансной

. (6.10)

При частоте ω₀ амплитуда тока в контуре максимальна и зависит от R

(рис. 6.5)

Рис 6.5

Вопросы и задания для самостоятельного изучения

1. Нарисуйте колебательный контур.

2.Перечислите виды электромагнитных колебаний.

3.Выведите уравнение вынужденных электромагнитных колебаний.

4.Какими параметрами определяются свободные затухающие колебания.

5.Определите резонансную частоту вынужденных колебаний в контуре с индуктивностью 1 мГн и С=1пФ.

Дата добавления: 2014-01-04