Плотность вероятности

Рассмотрим F (x_i) на Рис. 3 и введем плотность вероятности f (x) (характеристику №2) в форме отношения локальной вероятности P (x_k) к ширине зоны Δ_k

f (x_k) = (F (x_k) - F (x _к-1))/ (x_к - x _к-1) = = (7)

Если построить график f (x_i), то он будет подобным гистограмме P (x _i). Отличие f (x_i) от P (x_i) связано с постоянным делителем Δ_k, который приводит к тому, что f (x_i) является размерной величиной.

Как изменится f (x_i), если L → ∞ и Δ_i = D/L → 0?

Форма f (x_i) будет гладкой (высота ступеней уменьшится), она напоминает «Шляпу» (Задача 1, Рис. 5)

Рис. 5.

Плотность вероятности f (x)

В заданной точке f (x) определяет производную от функции распределения F (x) по определению

f (x) = . (8)

В точке x = x _ср выполняется условие

f (х = x _ср) ≈ f _max.

Это означает, что x _ср доставляет наибольшую плотность вероятности или x _ср является наиболее вероятным значением случайной величины Х.

Если f (x) является известной, то с ее помощью можно решать следующие задачи:

1) определить функцию распределения F (х), используя соотношение

F (х) = ,

2) рассчитать среднее значение или действительное значение Х можно определить по следующему соотношению

(9)

3) рассчитать долю точек α _ф, которая попадает в заданный фиксированный интервал Δ_ф в окрестности x _ср, используя связи

α _ф = F (x_a = x _cр + Δ_ф/2) - F (x_е = x _cр - Δ_ф/2) = .

4) записать результат индивидуального измерения как

Х = А ± D _ф /2 = x _cр ± D _ф /2 при α = α _ф.

На графике f (х) (Рис. 5) можно изобразить F (х) в виде соответствующей площади S. Например, если х = a для условий Задачи 1, то

F (х = a) = S _{X min ab} .

Если выбрать Δ_ф = ae (Рис. 5), то доверительная вероятность α _ф изображается площадью S _abсde .

Например, для нормального распределения Х Î N (σ,A) являются распространенными границы, которые связываются со средним квадратическим отклонением (СКО) для индивидуального результата

.

К этим границам относятся следующие доверительные интервалы и доверительные вероятности

Δ_ф = σ, α _ф ≈ 68%,

Δ_ф = 3σ, α _ф ≈ 99%.

На какие вопросы позволяют отвечать функции f (х) и F (х) для Примера 1? К ним относятся такие вопросы:

1) Какую величину имеет наиболее вероятное значение Х?

2) Какая доля точек α _ф попадает в заданный фиксированный интервал Δ_ф в окрестности x _ср?

3) В какую Δ_ф – окрестность x _ср попадает заданная доля точек α _ф?

4) Какова погрешность случайной величины?

Дата добавления: 2014-01-04