Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Свойства Собственных векторов и собств значений


Собственные вектора и собственные значения

Общее решение этой системы записывается в виде

Ядро и образ линейного оператора

Пусть А оператор из LBL’ где L – n-мерное пространство

Опр: Множество векторов xÎL таких что Aх=0 называется ядром оператора и обозначается KerA

Размерность ядра называется дифектом оператора

Лемма: разм ядра равна n-r где r– ранг матр оператора dim(KerA)=n-r

Док-во: е1,…,еn базис с L, A=(aij) матрица оператора в этом базисе rgA=r в координатах получ систему однородн Ур-ний

0= a11x1 + a12x2 + a13x3,

0= a21x1 + a22x2 + a23x3

0 = a31x1 + a32x2 + a33x3.

Х=с1х12х2+…+сn-rхn-r где х1….хn-r – ФСР следует что ФСР явл базисом ядра и размерностью ядра n-r

 

Опр: Множество векторов уÎL таких что Aх=у называется образом оператора и обозначается ImA

Размерность образа называется рангом оператора

 

Лемма: Размерность образа равна рангу матрицы оператора dim(ImA)=r

Док-во Пусть х1е1 + х2е2 +…+ хnеn тогда у=Ах=х1Ае1+…+хnАen Из последнего равенства следует что образ есть линейная оболочка векторов

Ае1, Ае2, …. Аеn

 

Т.к. по столбцам матрицы оператора стоят координаты этих векторов то dim(ImA)=r

 

Теорема:Сумма размерн ядра и образа равна размерности всего пространства dim(ImA)+ dim(kerA)=n

Док-во: dim(ImA)+ dim(kerA)=r+(n-r)=n

 

 

Опр: Суммой операторов А и В назыв опер С такой что Сх=Ах+Вх пишут А+В=С

Опр: Произв оператора А на a назыв опер С : Сх=aАх или С=aА

 

Теорема: Сумме и произв операт-ов отвечает сумма и произв их матриц. При умнож операт на число его матрица также умнаж на это число

 

Операции с операторами

А+В=В+А

А+(В+С)=(А+В)+С

А(ВС)=(АВ)С

(А+В)С=АС+ВС

С(А+В)=СА+СВ

 

В общем случае АВ¹ВА

 

Опр: Оператор А-1 назыв обратным к А если А-1А=АА-1=Е (Ех=х)

 

Теорема: Оператор А имеет обратный тода когда его матрица в некотором базисе не вырождена. Матрица обр оператора равна обратной матрице



 

 

Лекция 9

Опр. Не нулевой вектор х называется собственным векторомоператора А, если найдется такое число λ, что выполняется равенство: Ах= λх, число λ называется собственным значениемоператора А.

 

  1. Каждому собственному вектору соответствует только одно собств значение

Док-во: предположим противное Ах=λх, Ах=λ1х вычитая их друг из друга получим 0=(λ-λ1)х значит λ=λ1

  1. Если х собственный вектор отвеч λ то и aх также собственный вектор отвеч λ.

Док-во: Пусть Ах=λх тогда А(aх)= aАλх=aλх=λ(aх) т.е. А(aх) =λ(aх)

  1. Если х1 и х2 собствен вектора отвеч λ то их сумма х12 также собственнй вектор

Док-во: Ах1=λх1, Ах2=λх2 тогда А(х12)=Ах1+Ах2=λх1+λх2=λ(х12)

 

Более общее св-во: Если х12,,,хк- собств вектора, отвеч λ то любая их линейн комбин также собственный вектор отвеч λ.

  1. Собств вектора отвеч различным собственным знач линейнонезависимы

Докажем для 2-х векторов: Ах=λ1х Ау=λ2 у λ1¹λ2 Покажем что х и у лин независимы Предположим противное т.е. что они зависимы тогда у=λх Из св-ва (2) следует что у отвечает собственному знач λ1(противоречие).

В общем случ док-ся методом мат индукции.

Инвариантные подпространства

Подпр-во L1ÎL наз инвариант подпростр оператора А если "хÎL1, АхÎL1. Из св-в (2) и (3) следует что множество векторовотвечающих одному собств знач λ образ инвариантное пр-во.

 

Поможем в написании учебной работы
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой
<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Решение невырожденных СЛАУс помощью обратной матрицы | Характеристическийй многочлен оператора

Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 383; Нарушение авторских прав?;


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2022) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.027 сек.